第五章特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量矩阵的对角化矩阵的特征值矩阵的特征向量矩阵可对角化的条件§5.1预备知识一.向量的内积在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系.内积定义：夹角：向量的长度：·cosxyxy·arccosxyxy·xxx123123112233(,,)(,,)xxxyyyxyxyxyxy1212,,,,,,,TTnnxxxyyyxy内积的坐标表示式：令1122[,],nnxyxyxyxy称为向量x与y的内积.定义1设有n维向量123123,,,,,xxxyyyxy(1)向量x与y的内积是一个实数,注:(2)常用符号(x,y)=x,y=[x,y]=x·y.(3)零向量与任一向量的内积为0.当x与y都是列向量时,可以用矩阵乘法表示内积为例1已知=(1,2,1,1)T,=(2,3,1,1)T则·=[,]=12+23+(1)1+1(1)=6也称点积,数量积.“·”[x,y]=xTy=yTx不可省略.性质:（其中x,y,z为n维向量，为实数):[,][,]xyyx（1）[,][,]xyxy（2）[,][,][,]xyzxzyz（3）[,]0,xx（4）当且仅当时等号x0成立.(以上性质显然成立)22212[,]nxxxxxx定义2nx称为维向量的长度（或范数）.令设x=(x1,x2,…,xn)T显然||x||0,当||x||=1时,称x为单位向量,零向量的长度为0.=(a1,a2)2212aa=(a1,a2,a3)222123aaan维向量的长度是二维、三维的推广.在R2中，在R3中，证:向量的长度具有下述性质：（1）非负性：0;x（2）齐次性：;xx（3）三角不等式：.xyxy为实数（1）显然成立.下面证明（2）和（3）.即数乘向量x的长度||x||等于||与||x||的乘积.(2),xxx根据上式可知，设是非零向量，是一个单位向量.则这是因为任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.这一过程称为将向量单位化.2,xxx111(3)2,xyxyxy所以xyxy,2,,xxxyyy222xxyy,2,xxxyyy2xy2[,][,][,]xyxxyy[,]xyxy[,]10xyxyxy当时由此得当且仅当x与y线性相关时，等号才成立对任意n维向量x,yCauchy-Schwarz不等式：有此不等式还可表示为如果x与y线性相关，不妨设y=kx,则有证：[x,y]2设x与y线性无关，tx+y0，[tx+y,tx+y]0即t2[x,x]+2t[x,y]+[y,y]0的判别式一定小于零.即[x,y]2[x,x][y,y]0或[x,y]2[x,x][y,y]那么对于任意实数t来说，于是最后不等式左端是t的一个二次三项式，由于它对于t的任意实数值来说都是正数，所以它=[x,kx]2=k2[x,x]2=[x,x][y,y]定义3当时，0,0xy[,]arccosxyxy定义4当时，[,]0xynxy称为维向量与的夹角.xy称向量与正交(或垂直).定义4'，则称x与y正交.如果x与y的夹角为2显然，零向量与任何向量都正交.若一个向量组中任意两个向量都正交，若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为正交规范向量组或标准正交向量组.则称此向量组为正交向量组.定义5例2设=(1,0,2)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.解:·=1(1)+00+21=1222=102=5222=-101=2所以与的夹角的余弦110cos101010arccos10例3解:·=0=3=2cos02设=(1,1,1)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.例4Rn中的e1,e2,…,en是一组两两正交的向量若ij,显然有ei·ej=0例5是R4的一个标准正交向量组.可以验证111,,0,022211,,0,0223110,0,,224110,0,,22的非零向量组，证：k11+k22+…+krr=0=i·(k11+k22+…+krr)但i·i0,则1,2,…,r线性无关.若n维向量1,2,…,r是一组两两正交设有实数k1,k2,…,kr使得因为当ij时,i·j=0,所以所以1,2,…,r线性无关.定理10=i·0=ki(i·i)所以ki=0,i=1,2,…,n.定理3Rn中任一非零正交向量组中向量的个数不会超过n.在Rn中,如果与1,2,…,r中每一个向量正交,证：k11+k22+…+krr为1,2,…,r的一个线性组合因为·i=0(i=1,2,…,r)所以110rriiiiiikk定理2则与1,2,…,r任意一个线性组合也正交.12111,1,12求非零向量,使成为正交向量组.3123,,1323,xxx13230,0TT已知设则例6解：1231110,1120xxx即11111211223,TTxxx0由123,0xxx得11,0从而有基础解系111003110,0013110取即合所求.二.Schmidt正交化方法设,是Rn中的两个向量，定义2记称为向量在上的投影纯量.记称向量为向量在上的投影向量.Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量12,,,r作如下的线性变换，化为一组与之等价的正交向量组的方法：12,,,r11;1222111,;,……1.Schmidt正交化令1111,,rrrrr12121122,,,,rrrr可以证明：12,,,r两两正交，向量组与12,,k12,,k等价.1kkr且对任何2.标准化（单位化）令则1,2,…r就是一组长度都是1的正交向量组.111,222,,rrr先正交化，后标准化，次序不可颠倒.注：1121,11232311,1,4110例7将正交规范化.先将1，2，3进行正交化，取解:1222111,,32145111,631111323331211220,,2.,,2111211,61333011.21再将它们单位化，取123,,则即为所求.2221113112221,001例8已知1=(1,2,2)T,求非零向量2,3,2,3应满足方程1Tx=0，它的基础解系为取2=1=210使1,2,3成为正交向量组.解:即x1+2x2+2x3=0将1,2正交化,3=222222,,则2,3就是所求.2240151021455TTAAAAE定义6如果n阶方阵A满足3.正交矩阵（即A1=AT）那么称A为正交矩阵(简称正交阵).正交矩阵具有如下性质：1.若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵.2.两个正交阵的乘积仍是正交阵.3.正交阵的行列式等于1或1.4.正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1.5.正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和等于0.证：1.因为(A')'=A,所以A'=A1也是正交阵.2.设A,B都是正交阵,则(AB)(AB)'=3.设A是正交阵,而|AA|=因此|A|2=1,(AB)(B'A')=A(BB')A'=AEA'=AA'=E则AA=E,|AA|=|E|=1|A||A|=|A|2即|A|=1设A是正交阵,即AA'=E,12nA其中i=(ai1,ai2,…,ain).4.和5.将A写成行向量的形式则A的转置A'=12,,n其中12iiiinaaa1212,,,nnAA111212122212nnnnnn10ijijij其中当i=j时，当ij时，22212...1iiiiinaaa11...0ijijinjnaaaa这样，性质4.和5.得证.列的情况可以通过A'A=E加以证明定理4A为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向量组为正交规范向量组.证：由性质4,5可以直接推出正交矩阵举例：(1)n阶单位矩阵Encossin.sincos(2)例92000cossin770sincos77xA已知A是正交阵，求x.解：根据定理4设123A则1·1=1即(2x)2+02+02=1x=12设.TxxxTTTyyyxPPx设为正交变换，则有yPxyPx定义7若P为正交矩阵，则线性变换这说明，正交变换不改变向量的长度.称为正交变换.§5.2特征值和特征向量1.概念定义1设A是n阶方阵，如果数和n维非零相应的非零列向量x称为A的对应于特征值的特征向量.方阵A的特征值；列向量x使关系式Ax=x(1)成立，则称是此处可能是复数，注：也可能是复数.A的元素和x的分量(EA)x=0)此为n元齐次线性方程组(AE)x=0|AE|=0将(1)改写成(或改写为它有非零解的充要条件是(2)1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa即定义称为A的特征矩阵;其行列式|AE|是的n次多项式,记为f()，显然，A的特征值就是A的特征方程方程|AE|=0称为A的特征方程.|AE|=0的根，因此，特征值也称为特征根.称为A的特征多项式;A为n阶方阵，含有未知量的矩阵AE方程组(AE)x=0的每一个非零解向量，都是与相应的特征向量.定理1任一n阶矩阵A必有n个复的特征值.证:因为一元n次方程必有n个复数根(包括重根),所以特征方程|AI|=0有n个复数根，即A有n个复的特征值.定理2若x是A的关于特征值0的特征向量,证:若Ax=0x，Ax=0x则0x=0x，∵x0，且又是关于特征值0的特征向量,则0=0∴00=0(00)x=0定理3证:(其中k1，k2为任意常数，且k1+k20).k1+k2也是(AE)x=0解.设和均是A的特征值的特征向量，则线性组合k1+k2也是A的特征值的特征向量.根据定义,,均