勾股定理常见题型总结

典型题型题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，90C．⑴已知6AC，8BC．求AB的长⑵已知17AB，15AC，求BC的长分析：直接应用勾股定理222abc解：⑴2210ABACBC⑵228BCABAC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224ACABBC，2.4ACBCCDABDBAC⑵设两直角边的长分别为3k，4k222(3)(4)15kk，3k，54S⑶设两直角边分别为a，b，则17ab，22289ab，可得60ab1302Sab2cm例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DEAB于E，12，90C1.5DECD在BDE中2290,2BEDBEBDDERtACDRtAEDACAE在RtABC中，90C222ABACBC，222()4AEEBAC3AC例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BAC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mABCDE分析：根据题意建立数学模型，如图8ABm，2CDm，8BCm，过点D作DEAB，垂足为E，则6AEm，8DEm在RtADE中，由勾股定理得2210ADAEDE答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt①1.5a，2b，2.5c②54a，1b，23c解：①22221.526.25ab，222.56.25cABC是直角三角形且90C②22139bc，22516a，222bcaABC不是直角三角形例7.三边长为a，b，c满足10ab，18ab，8c的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264ababab，且264c222abc所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC中，13ABcm，10BCcm，BC边上的中线12ADcm，求证：ABAC证明：DCBAAD为中线，5BDDCcm在ABD中，22169ADBD，2169AB222ADBDAB，90ADB，222169ACADDC，13ACcm，ABAC