余弦定理练习题及答案

余弦定理练习题及答案积累巩固1.已知cba,,是ABC中角CBA,,的对边,若21a，5,4,bc则A＝.2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知3,3,30,abc则A＝.3.在△ABC中，三个角,,ABC的对边边长分别为3,4,6abc,则coscoscosbcAcaBabC的值为．4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．5.在△ABC中，已知a＝1，b＝7，B＝60°，求边C．延伸拓展6.在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝45°，解此三角形．7.已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，若ABC面积,60,2,23AcSABC求a、b的值．8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若223coscos222CAacb，求证：．9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知2223bcabc，求：（1）A的大小；（2）2sincossin()BCBC的值．10.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（1）ac的值；（2）coscossinsinBCBC的值.创新应用11.在△ABC中，a、b是方程02322xx的两根，且1)cos(2BA.求：（1）角C的度数；（2）c；（3）△ABC的面积.12.已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若21sinsincoscosCBCB．（1）求A；（2）若4,32cba，求ABC的面积．13．当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C处的乙船，试问乙船直接赶往B处救援最少要走多少海里？参考答案1.60解析：2221cos22bcaAbc，60A．2.解：由余弦定理可得239233cos303c,解得330()6caAC或．3.解：由余弦定理，所求式163699361616936612222．4.解：设顶角为C，因为5,2lcabc∴，由余弦定理得222222447cos22228abccccCabcc．5.解：由余弦定理得(7)2＝12＋c2－2ccos60°，∴c2－c－6＝0，解得c1＝3，c2＝－2(舍去)；∴c＝3．6.解：由a2＝b2＋c2－2bccosA得22＝(2)2＋c2－22ccos45°，∴c2－2c－2＝0，解得c＝1＋3或c＝1－3(舍去)；∴c＝1＋3．又cosB＝c2＋a2－b22ca＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3）＝32，且B为三角形内角；∴B＝30°；∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°．7.解：23sin21AbcSABC，2360sin221b，得1b由余弦定理得360cos21221cos222222Abccba，∴3a．8.证明：由已知得：，∴，∴，∴，即．9.解：(1)由余弦定理得2222cos,abcbcA22233cos,.2226bcabcAAbcbc故所以(2)2sincossin()BCBC2sincos(sincoscossin)sincoscossin1sin()sin()sin.2BCBCBCBCBCBCAA10.解：（1）由余弦定理得222222111772cos()2.33293aabcbAcccccc（2）由余弦定理及（1）的结论有22222271()593cos.272723cccacbBaccc故2253sin1cos1.2827BB同理可得22222271199cos,27127233cccabcCabcc2133sin1cos1.2827CC从而coscos5114333.sinsin399BCBC11.解：(1)∵1)cos(2BA，∴21cosC，∴角C的度数为120°.(2)∵a、b是方程02322xx的两根，∴由求根公式计算得32ba，2ab,由余弦定理得Cabbaccos2222)1(cos2)(2Cabba＝12－2＝10.∴10c.(3)23sin21CabS.12.解：（1）21sinsincoscosCBCB，21)cos(CB；又CB0，3CB；CBA，32A．（2）由余弦定理得Abccbacos2222，∴32cos22)()32(22bcbccb，即)21(221612bcbc，4bc；323421sin21AbcSABC．13.解：在△ABC中，9030120BAC，∴222cosBCABACABACA22201022010cos120107．答：乙船直接赶往B处救援最少要走107海里．