抛物线练习题2

文科抛物线练习题2命题人宋晓丽1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于()A．8B．10C．6D．42．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．123．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA→·OB→的值是()A．12B．－12C．3D．－34．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是()A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线6．抛物线y＝－x2上的点，到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.43B.75C.85D．37．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在8．直线l经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|的值为()A．a＋bB.12(a＋b)C．abD.ab9．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点P的坐标是______．10．已知点A(4,0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________．11．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM→＝MB→，则p＝________.12．已知点A在平行于y轴的直线l上，且l与x轴的交点为(4,0)．动点P满足AP→平行于x轴，且OA→⊥OP→，求P点的轨迹．13．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．文科抛物线练习题2答案1.A2.B3.[解析]设A(y214，y1)，B(y224，y2)，则OA→＝(y214，y1)，OB→＝(y224，y2)，则OA→·OB→＝(y214，y1)·(y224，y2)＝y21y2216＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴OA→·OB→＝(y1y2)216＋y1y2＝(－4)216－4＝－3，故选D.4.D5.A6.A7.B8.D[解析]根据抛物线的定义，有|PF|＝|PR|，|QF|＝|QS|.∵∠RFO＝∠FRP＝∠RFP，∠SFO＝∠FSQ＝∠SFQ，∴∠RFS＝∠RFP＋∠SFQ.∴△RFS为直角三角形，故|MF|为直角三角形斜边上的中线．在直角梯形PRSQ中，|RS|＝(a＋b)2－(a－b)2＝2ab.故|FM|＝12|RS|＝ab.9.[解析]设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→·BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．10.[解析]设My216，y1，则|MA|2＝y216－42＋y21＝136y41－13y21＋16＝136(y21－6)2＋15≥15，当且仅当y21＝6，即y1＝±6，x1＝y216＝1时，|MA|取最小值15，此时M(1，±6)．11.[解析]本题考查了抛物线与直线的位置关系．由斜率为3，∠M＝60°，又AM→＝MB→，∴M为中点．∴BP＝BM，∴M为焦点，即p2＝1，∴p＝2.12.[解析]设动点P的坐标为(x，y)，则由已知有A的坐标为(4，y)，所以OA→＝(4，y)，OP→＝(x，y)．因为OA→⊥OP→，所以OA→·OP→＝0，因此4x＋y2＝0，即P的轨迹方程为4x＋y2＝0.∴轨迹是抛物线13.[解析](1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：(x－1)2＋y2－x＝1(x0)化简得y2＝4x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由x＝ty＋my2＝4x得y2－4ty－4m＝0，此时Δ＝16(t2＋m)0.于是y1＋y2＝4ty1·y2＝－4m①又FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)FA→·FB→0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y20②又x＝y24，于是不等式②等价于y214·y224＋y1y2－(y214＋y224)＋10⇔(y1y2)26＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋10③由①式，不等式③等价于m2－6m＋14t2④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋10，即3－22m3＋22