利用空间向量解立体几何(完整版)

第1页共12页向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1.数量积：cosabab2.射影公式：向量a在b上的射影为abb3.直线0AxByC的法向量为,AB，方向向量为,BA4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1.平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2.垂直关系第2页共12页线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1.点点距离点111,,Pxyz与222,,Qxyz的距离为222212121()()()PQxxyyzz2.点线距离求点00,Pxy到直线:l0AxByC的距离：方法：在直线上取一点,Qxy，则向量PQ在法向量,nAB上的射影PQnn=0022AxByCAB即为点P到l的距离.3.点面距离求点00,Pxy到平面的距离：方法：在平面上去一点,Qxy，得向量PQ，计算平面的法向量n，计算PQ在上的射影，即为点P到面的距离.四、用向量法解空间角1.线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角2.线面夹角求线面夹角的步骤：第3页共12页①先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；②再求其余角，即是线面的夹角.3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a,b所成角θ，只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量''AABB和，则角','AABB=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=''''AABBAABB,不需要用法向量。1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n=（x,y,1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sinθ=cos(2-θ)=|cosAB,n|=ABABnn2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,nn，则12,nn或π-12,nn是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定12,nnαnA第4页共12页是所求，还是π-12,nn是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为(,,)nxyz，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=||||ABnn略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线，在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇//EF，交a＇于A＇，则¡¯//AAn，所以∠BAA＇=,BAn（或其补角）∴异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=||||ABnn*其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量,ab（或图中的,AEBF），及n的定义得00nananbnb①解方程组可得n。2、求点到面的距离求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)nxy，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d=||||ABnn，n的坐标由n与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所n第5页共12页述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设(1,,0)ny，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)nxy，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d=||||ABnn4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)nxy，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d=||||ABnn三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,nn，则1a//an1aa//n12////nn12nn四、应用举例：例1：如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.解：（I）以A为原点，1,,ABADAA分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、第6页共12页C1(4,3,2)于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DEECFD设法向量(,,2)nxy与平面C1DE垂直，则有13301320nDExyxyxyznEC11111(1,1,2),(0,0,2),1010226cos3||||1140042tan2nAACDEnAACDECnAAnAA向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角（II）设EC1与FD1所成角为β，则11222222111(4)322221cos14||||132(4)22ECFDECFD例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=12，ED=32，∴P（0，0，1），E（32，0，0），B（32，12，0）∴PB=（32，12，-1），PE=（32，0，-1），第7页共12页平面PED的一个法向量为DC=（0，1，0），设平面PAB的法向量为n=（x,y,1)由31312(,,1)(,,1)01022223330(,,1)(,0,1)01022xyxyxnPBnPEyxyx∴n=（23,0,1)∵DC·n=0即DC⊥n∴平面PED⊥平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为n=（23,0,1),设平面FAB的法向量为n1=（x,y,-1)，由（1）知：F（0，0，12），FB=（32，12，-12），FE=（32，0，-12），由113113111(,,1)(,,)00222222331310(,,1)(,0,)002222xyxyxnFBnFEyxyx∴n1=（-13,0,-1)∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=|cosn,n1|=11n5714nnn例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中第8页共12页心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.解:(Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1,∵棱长为4∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）∴AP=(-4,4,1),显然DC=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ=|cosAP,DC|=22216433334414∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin43333(Ⅲ)设平面ABD1的法向量为n=（x,y,1)，∵AB=（0，4，0），1AD=（-4，0，4）由n⊥AB，n⊥1AD得0440yx∴n=（1,0,1)，∴点P到平面ABD1的距离d=322APnn例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。第9页共12页解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）∴1(1,1,3)AO1(2,0,3)BC11(0,2,0)AB设A1O与B1C的公共法向量为(,,1)nxy，则113(,,1)(1,1,3)0302(,,1)(2,0,3)023032xnAOxyxyxyxnBCy∴33(,,1)22n∴A1O与B1C的距离为d=1122330,2,0,,122||332211||11331222ABnn例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（12，1，1）∴(1,1,0)BD1(,0,1)2BE1(0,1,1)AB设面BDFE的法向量为(,,1)nxy，则(,,1)(1,1,0)002112(,,1)(,0,1)01022xyxynBDxyxyxnBE∴(2,2,1)n∴A1到面BDFE的距离为d=1220,1,12,2,1|||3|13||221ABnnABCDA1B1D1C1OFEABCDA1B1D1C1第10页共12页五、课后练习:1、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线;（2）求点D1到面BDE的距离.2、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点，（1）求D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离1A1B1C1D第11页共12页3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）（1）求证：平面A1BC1//平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。4、如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.DCC1AA1BB1D1第12页共12页