数学建模队员的选拔及组队问题研究.

数学建模队员的选拔及组队问题研究013082组黄梦遥朱文意李培一一、摘要全国大学生数学建模竞赛[1]（以下简称“国赛”）是全国高校规模最大的课外科技活动之一。数学建模是一种运用数学语言和方法，通过抽象、简化建立模型，能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学手段。数学建模在物流、交通等领域中日益广泛的应用对数学建模竞赛产生了很大的促进作用。由此，各大高校也越发看重学生在这项大赛中取得的成绩，如何选拔参赛队员以及如何合理组队这些问题就显得非常重要。本文以清晰的思路建立了数学模型，并对模型做了合理的假设，对队员选拔、成员组队等问题进行了较为深入的探讨，并提出了模型的解答。1.每名队员的优势能力不同，问题一要求我们在这20名队员中做出取舍，我们想到了用层次分析法。我们给各项能力按照题目的要求合理地给定了权重，并按照层次分析法的步骤利用MATLAB计算出了每名队员的综合实力，在Excel中按降序排列，8、9两名队员是最后两名，因此落选。我们又想到了每学期期末考试后我们计算平均学分绩的方法，对20名队员的能力进行了简便的直接加权，那么每名队员的综合实力可表示为：6161iSjjjijjbwmw同样按照降序排列，淘汰8、9两名队员。2.对问题二，我们有两个思路。思路1.用逐项选优方法，用目标函数6,,,,1,klmklmSSSSSSjjjjjfbwbw表示成员编号为klmSSS的队伍的整体竞赛水平：。利用上述目标函数在18名队员中找到3个人，使队伍整体竞争水平最高，接着按以上方法依次选队员，直到18名队员分成6组。思路2.用仿真法，使得六个组的平均竞赛水平达到最大值并且六个组的竞赛水平方差最小。首先将18名队员按综合实力降序排名分成人数相等的三组，三组中各取出一名队员使之组成一支参赛队伍，用MATLAB编程，取10万个可能的组合，由此计算出使得六个组的平均竞赛水平最高且各组水平最均衡的分组情况。3.问题三我们使用了仿真法和顺序挑选模型。从公平的角度来看，每个教练带的队的竞赛水平差不都（即方差尽可能的小），因此可以用仿真法求得最小方差和最小方差下的整体竞赛水平。从教练的一般挑选规律看，我们使用了顺序挑选模型，即认为教练先挑选综合能力最强或者在某一项特别占优势的队员，然后挑选能弥补第一位队员弱项的第二位队员，然后挑选第三位队员使得自己所带队伍的竞赛水平最高。4.问题四提出了在报名人数更多的情况下该如何选拔队员的问题。我们有两种策略。第一种是无淘汰情况下的选拔策略模型，根据他们的综合实力将他们分成提高组和基础组两组。第二种是有淘汰情况下的选拔策略模型，按照题目中给定的评定标准将各队员的综合实力降序排名，分数低者淘汰，若是遭淘汰者有至少一项的能力得分是名列前茅的，则有机会留下。根据此策略进行几次淘汰，直至剩下队员都能拿到参赛名额。关键词：加权Excel层次分析法MATLAB逐项选优仿真顺序补弱二、问题重述为了准备全国大学生数学建模竞赛（以下简称“国赛”），必须对报名队员进行严格的筛选，如何制定科学合理的选拔组队策略是一个有待研究的课题。现有20名队员，根据其能力选拔18名参加竞赛。选拔队员主要考虑的条件依次为学习成绩，智力水平(反映思维能力、分析问题、解决问题的能力)，动手能力(计算机的使用和其它方面的实际操作能力)，写作能力，协作能力(相互协作能力)，其它特长(如身体素质等)。每个队员的基本条件如所示（满分10分记)，具体信息见附录。现在要解决的问题是：（1）在20名队员中选择18名优秀队员，参加建模竞赛。（2）给出由18名队员组成6个队的组队方案使各队整体竞赛水平最高，并给出每队的竞赛水平。（3）在实际分队过程中教练们采取NBA的选秀模式，将由教练选取自己的队员，每个教练按事先抽取的次序依次挑选自己的队员，共选3轮，每个教练都想让自己的队员更强一些，搭配更合理些，试给出该情况下的仿真，并计算最优的平均竞赛水平。已知六位主教练的挑选次序为：（横向从左到右为一轮）ABCDEF;FEDCBA;BDFACE。（4）试讨论报名人数更多一些的时候，比较适宜采用的选拔策略。三、问题分析3.1问题一为了选拔出优秀的队员代表学校参加全国数学建模竞赛，我们要有良好的选拔标准，数学建模竞赛的成绩是各队伍综合实力的体现，也是每个队员综合实力的体现，因此问题一的选择问题是一个多目标决策问题，学习能力、智力能力等都是优秀的数学建模队员应该具备的素质，但它们对队员的综合实力有着不同的影响程度。题中所列的六项能力已按主次进行了排序，我们有两种思路来解决这个问题。思路1.用层次分析法[2]250，将决策问题分解为3个层次，通过题目所给的各项能力的主次考虑顺序构造适合的权重，生成成对比较矩阵，计算出权向量，若能通过一致性检验，则可利用Excel计算出每位队员的综合实力，进行降序排序，即可得到综合实力排名前18的队员。思路2.用加权平均数法。根据题目所给的各项能力的考虑主次问题，由主到次分别给定8,6,4,3,2,1的权重，数值越大则表示影响程度越大，同时也适当考虑了相对的影响程度。在Excel中通过公式计算出每位队员的综合实力并按降序排序，前18位就是题目所要选择的优秀队员。3.2问题二在20位队员中选择了18位进行组队，要求6支队伍的整体竞赛水平最高。由于同组队员是相互合作的，因此每个队的各项能力水平都是由该项能力最高的队员决定的，各项能力水平各自乘以权重，就得到了队伍的竞赛水平。思路1.出于“强强联手”的考虑，我们选择利用MATLAB用逐项选优的方法选出使得第一组的总体竞赛水平最高的三个队员，然后依次选出第二组、第三组直至第六组队员，由此也可以看出，第一组的竞赛水平是最强的，最有希望冲击全国大奖。思路2.可以看到思路1中竞赛水平最高的队伍与竞赛水平最低的队伍之间差距还是很大的，为了使参赛队员尽可能多地获奖，我们可以这样分组：使得六个组的竞赛水平相近，同时保持六个组各自较高的竞赛水平。我们将队员们按综合实力降序排名，分成ABC三组，从这三组中各出一名队员，组成参赛队伍。我们用仿真法使MATLAB计算10万次可能的分组情况并求出它们的平均竞赛水平和六个组竞赛水平的方差，平均竞赛水平达到最高且方差最小的的组合情况即为所求。3.3问题三NBA的选秀规则[3]之一是排名越靠前的球队，在选秀的顺序上越靠后；排名越靠后的球队，在选秀的顺序上越占先机。这是一种很公平的模式。因此在既定选择顺序下，对每个教练来说，结果也是公平的。我们可以不细究每个教练是根据什么条件挑队员的，因为最后的结果一定是对每个教练都公平的，换言之，每个教练带的队伍的竞赛水平是比较均衡的，于是我们建立了模型Ⅰ，采用问题二的思路2所用的仿真法。但是考虑到第一轮选择时先选的教练一定会选择综合实力高的或者是某项能力特别突出的，因此需要对求得六个分组与六个教练相对应。模型Ⅱ，为了使每个教练都对自己的队员满意，我们建立了顺序挑选模型，第一次挑选综合实力最高的队员，第二次根据第一位队员的弱项挑个能弥补该弱项的第二位队员，第三次则挑选剩下队员中，能使本队的竞赛水平达到最高的队员。3.4问题四情况1.如果报名人数比较多，但是学校培训教室、机房的容纳量足够，教师也有精力为这么多人上课、辅导，那么我们可以假设，这些报名人员组成的队伍数不超过学校的参赛队伍名额，因此我们将保留所有参赛队员，根据他们的水平分成提高组和基础组，因材施教，因此我们的目标是使提高组尽可能冲击国奖，基础组中水平较高的队伍尽可能冲击省奖。情况2.如果报名情况很火爆，学校的教室、机房没有办法容纳所有的报名人员，辅导老师的指导工作也很难开展，那么就要考虑放弃一部分水平不高、没有得奖希望的队员。在培训期间进行小测验，然后将评定队员水平的各项分数按重要性进行加权，得分低者淘汰。进行几次淘汰以后，留下综合竞赛能力较高的队员。四、模型假设1.假设题中所给的数据能真实可靠地反映每位队员的各项能力。2.假设每位队员的各项能力是独立的，不会因为队友的不同而发生变化。3.假设队伍的各项能力水平为组内该项能力得分最高的那位队员的得分。4.假设每位教练选择队员的条件只有一个：使得队伍的整体竞赛水平最高。五、符号说明iS——初始队员编号(=1,...,20i);iSjb——编号iS的队员的第j项能力的得分（=1,...,6j分别对应学习成绩、智力水平、动手能力、写作能力、协作能力、其他特长）jw——第j项能力在综合实力中占的权重im——编号i队员的综合实力jkq——第j项能力与第k项能力的影响程度大小之比(,1,...,6jk)kD——第k种组合的竞赛水平方差kg——第k种组合的整体竞赛水平iL——第i组的竞赛水平六、模型的建立与求解6.1问题一的模型建立与求解6.1.1由思路1（层次分析法）建立的模型及其求解将决策问题分为三个层次，如图一（各层间表示联系的图线省略）通过相互比较我们将各准则的权重，确定了以下比较尺度：表1比较尺度的含义尺度jkq含义准则层目标层方案层学习成绩智力水平动手能力写作能力协作能力其他特长选择参赛的队员淘汰12SS淘汰13SS淘汰1819SS淘汰1920SS……图一1第j项能力与第k项能力影响程度相同2第j项能力比第k项能力影响程度稍强3第j项能力比第k项能力影响程度较强4第j项能力比第k项能力影响程度强6第j项能力比第k项能力影响程度明显的强8第j项能力比第k项能力影响程度绝对的强6项能力之间的比较结果可用成对比较矩阵66()jkQq，其中10jkkjjkqqq且。1234681/2123471/31/21235=1/41/31/21241/61/41/31/2131/81/61/41/31/21Q………………………………………(1)利用MATLAB求得矩阵A的最大特征值为6.1592，最大特征值对应的归一化的特征向量为：=0.39280.25190.15780.10080.06390.0328T，由于矩阵Q不是一致阵，所以要进行一致性检验。美国运筹学家T.L.Saaty[3]将1nCIn定义为一致性指标[1]253，CI越小则Q的不一致程度越小，代入6.1592,6n，得到=0.0318CI。查表[2]254得6n时随机一致性指标0.03181.24,0.02560.11.24CIRICRRI，可以认为Q的不一致程度在允许范围之内，可用其特征向量作为权向量。利用Excel的sumproduct函数和sum函数对方案层按照进行加权求和，得到20位队员的综合实力降序排序，前18位即为入选的优秀队员，编号8S和编号9S的两位队员由于综合实力得分较低而未入选。求解过程的MATLAB代码详见附录9.26.1.2由思路2（加权平均法）建立的模型由学校教务处平均学分绩的算法得到灵感，每位队员的综合实力也可以类似表达为6161iSjjjijjbwmw，按照各项能力在队员综合实力考虑评定中的重要性，我们适当给定了每项能力的权重。在Excel中将数据引入，批量求得每位队员的各项能力加权平均数，按降序排列，排名最后两位是编号8S和编号9S的队员，前18位就是入选的优秀队员，排序结果见附录9.3。6.2问题二的模型建立与求解6.2.1逐项选优法我们想让实力强的队伍去争取最高的奖项，因此采用逐项选优法。设kSjb，lSjb，mSjb（j=1,2,...,6）表示在20个队员中任意取三个编号为,,klmSSS的队员各自的第j项能力的得分，,,SklmSSjb表示编号为,,klmSSS的三个队员的第j项能力得分中的最大值，即可用如下式子表示：,,Smax,,klmklmSSSSSjjjjbbbbjw表示第j项能力在综合实力中占的权重系数。我们可以用三个队员的第j项能力的得分中的最大值乘以第j项基本能力在综合实力中占的权重系数，然后把六项乘积相加后得到和，用此和作为这三个人组成的队伍的整体竞赛能力水平，即可以建立如下的目标函数作为一个三人队伍的竞赛能力水平：6,,