高等数学方明亮版数学课件8.1-二重积分的概念与性质

返回上页下页目录2019年10月4日星期五1高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）返回上页下页目录2019年10月4日星期五2第八章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分（DoubleIntegrals）返回上页下页目录2019年10月4日星期五3主要内容第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算方法第三节三重积分第四节重积分的应用返回上页下页目录2019年10月4日星期五4第一节二重积分的概念与性质第八章（Conceptionandpropertyofdoubleintegral）一、二重积分的概念二、二重积分的性质三、小结与思考练习返回上页下页目录2019年10月4日星期五5一、二重积分的概念解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”D返回上页下页目录2019年10月4日星期五6D1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”nkkkkf1),(),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk返回上页下页目录2019年10月4日星期五74)“取极限”令)(max1knknkkkkfV10),(limk返回上页下页目录2019年10月4日星期五8有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.Dyx2.平面薄片的质量返回上页下页目录2019年10月4日星期五92)“常代变”中任取一点k在每个3)“近似和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量yx返回上页下页目录2019年10月4日星期五10两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:返回上页下页目录2019年10月4日星期五11),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,定义返回上页下页目录2019年10月4日星期五12DyxfVd),(曲顶柱体体积:DyxMd),(平面薄板的质量:如果在D上可积,),(yxf也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(返回上页下页目录2019年10月4日星期五13二重积分存在定理:若函数定理2定理1在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,则在D上可积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有返回上页下页目录2019年10月4日星期五14二、二重积分的性质性质1设、为常数，则[(,)(,)]d(,)d(,)d.DDDfxygxyfxygxy性质2如果闭区域D被有限条分段光滑曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和．例如,分D为两个闭区域1D与2D，则12(,)d(,)d(,)d.DDDfxyfxyfxy该性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．返回上页下页目录2019年10月4日星期五15性质3如果在D上，(,)1fxy，为D的面积，则1dd.DD该性质表明被积函数为1的二重积分在数值上就等于积分区域D的面积．性质4如果在D上，(,)(,)fxyxy，则有(,)d(,)d.DDfxyxy特殊地，由于(,)(,)(,),fxyfxyfxy又有(,)d(,)d.DDfxyfxy返回上页下页目录2019年10月4日星期五16性质5设Mm、分别是(,)fxy在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有(,)d.DmfxyM性质6（二重积分的中值定理）设函数(,)fxy在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得(,)d(,).Dfxyf提示：利用“性质5”和“连续函数的介值定理”即证。例设D是圆环域：2214xy，证明2243πeed3πe.xyD（课本例1）利用性质5返回上页下页目录2019年10月4日星期五17内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)课外练习习题8－12；4（2）（4）；5返回上页下页目录2019年10月4日星期五18思考与练习被积函数相同,且非负,yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解:321,,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:返回上页下页目录2019年10月4日星期五192.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因0y1,故故在D上有,03x又因yox1D返回上页下页目录2019年10月4日星期五20xyoD设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍有类似结果.1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则在第一象限部分,则有ddDxyxy1dd)(422Dyxyx0补充：积分对称性