数学建模中的常用算法

AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm数学建模中的常用算法成都信息工程学院计算科学系胡建成[e-mail]2009-5-20AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm22019/10/4数学建模竞赛网上资源CUMCM网站:MCM和ICM网站:中国数学建模:中科大建模网站:MATLAB网站:GOOGLE大学AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm32019/10/4数学建模竞赛中的算法(1)93A非线性交调的频率设计:拟合、规划93B足球队排名次:矩阵论、图论、层次分析法、整数规划94A逢山开路:图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题:图论、组合数学95A飞行管理问题:非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度:非线性规划、动态规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队论方法96A最优捕鱼策略：微分方程、积分、非线性规划AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm42019/10/496B节水洗衣机：非线性规划97A零件参数设计：微积分、非线性规划、随机模拟97B截断切割：组合优化、几何变换、枚举、蒙特卡罗、递归、最短路98A投资收益与风险：线性规划、非线性规划98B灾情巡视：最小生成树、Hamilton圈、旅行商问题99A自动化车床：积分、概率分布、随机模拟、分布拟合度检验数学建模竞赛中的算法(2)AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm52019/10/499B钻井布局：几何变换、枚举、最大完全子图、混合整数规划00ADNA分类：神经网络、最小二乘拟合、统计分类00B管道订购：最短路、二次规划01A血管的三维重建：数据挖掘、曲面重建与拟合01B公交车调度：非线性规划02A车灯光源优化设计：最优化02B彩票中的数学：概率与优化数学建模竞赛中的算法(3)AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm62019/10/4MATLABMapleMathematicaLindoLingoSASSPSSC&C++FortranPascal数学建模常用软件AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm72019/10/41.蒙特卡罗方法(Monte-Carlo方法,MC)数学建模竞赛常用算法(1)该算法又称计算机随机性模拟方法，也称统计试验方法。MC方法是一种基于“随机数”的计算方法，能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题。MC方法的雏型可以追溯到十九世纪后期的蒲丰随机投针试验，即著名的蒲丰问题。MC方法通过计算机仿真(模拟)解决问题，同时也可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛中经常使用的方法。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm82019/10/497年的A题每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。02年的B题关于彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。数学建模竞赛常用算法AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm92019/10/498年美国赛A题生物组织切片的三维插值处理94年A题逢山开路山体海拔高度的插值计算数学建模竞赛常用算法(2)2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB作为工具。与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。此类问题在MATLAB中有很多函数可以调用，只有熟悉MATLAB，这些方法才能用好。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm102019/10/498年B题用很多不等式完全可以把问题刻画清楚数学建模竞赛常用算法(3)3.规划类问题算法此类问题主要有线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等。竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了。因此列举出规划后用Lindo、Lingo等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm112019/10/498年B题、00年B题、95年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性。数学建模竞赛常用算法(4)4.图论问题这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm122019/10/492年B题用分枝定界法97年B题是典型的动态规划问题98年B题体现了分治算法数学建模竞赛常用算法(5)5.计算机算法设计中的问题计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜索、分治算法、分枝定界等计算机算法.这方面问题和ACM程序设计竞赛中的问题类似，可看一下与计算机算法有关的书。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm132019/10/497年A题用模拟退火算法00年B题用神经网络分类算法01年B题这种难题也可以使用神经网络美国89年A题也和BP算法有关系美国03年B题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。数学建模竞赛常用算法(6)6.最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法(SA)、神经网络(NN)、遗传算法(GA)近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm142019/10/497年A题、99年B题都可以用网格法搜索数学建模竞赛常用算法(7)网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。此类算法运算量较大。7.网格算法和穷举算法这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB做网格，否则会算很久的。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm152019/10/4很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此需要将连续问题进行离散化处理后再用计算机求解。比如差分代替微分、求和代替积分等思想都是把连续问题离散化的常用方法。数学建模竞赛常用算法(8)8.连续问题离散化的方法AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm162019/10/4数值分析研究各种求解数学问题的数值计算方法，特别是适合于计算机实现方法与算法。数学建模竞赛常用算法(9)9.数值分析方法它的主要内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程的数值解法、数值代数、常微分方程数值解等。数值分析是计算数学的一个重要分支，把理论与计算紧密结合,是现代科学计算的基础。MATLAB等数学软件中已经有很多数值分析的函数可以直接调用。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm172019/10/401年A题中需要你会读BMP图象98年美国A题需要你知道三维插值计算03年B题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理数学建模竞赛常用算法(10)10.图象处理算法赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB进行处理。数模论文中也有很多图片需要展示，解决这类问题要熟悉MATLAB图形图像工具箱。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm182019/10/4三个孩子的年龄(1)两个多年未见的朋友相遇，聊了很多事情。…A：既然你是数学教授，那你帮我算这个题，今天是个特殊日子：我三个儿子都在今天庆祝生日！那么你能算出他们都有多大吗？B：好，但你得跟我讲讲他们的情况。A：好的，我给你一些提示，他们三个年龄之积是36.B：很好，但我还需要更多提示。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm192019/10/4三个孩子的年龄(2)A：我的大儿子的眼睛是蓝色的。B考虑了一下说，但是，我还有一点信息来解决你的这个难题。B：哦，够了，B给出了正确的答案，即三个小孩的年龄。A：他们三个年龄之和等于那幢房子的窗户个数。A指着对面的一幢房子说。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm202019/10/4三个孩子的年龄(3)根据对话信息，用搜索的方法来解此问题。信息1:三个小孩年龄之积为36只有以下8种可能，搜索范围减少至8种情况:第一个小孩年龄36181299664第二个小孩年龄12342633第三个小孩年龄11112123AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm212019/10/4三个孩子的年龄(4)信息2:三个小孩年龄之和等于窗户数第一个小孩年龄36181299664第二个小孩年龄12342633第三个小孩年龄11112123窗户数:3821161413131110如果窗户数为38、21、16、14、11、10即可得出答案B还需信息，即窗户数为13.则可能为(9、2、2)或(6、6、1)信息2:大儿子眼睛是蓝色的得答案：(9、2、2)AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm222019/10/4智能优化算法智能优化算法又称为现代启发式算法，是一种具有全局优化性能、通用性强、且适合于并行处理的算法。这种算法一般具有严密的理论依据,而不是单纯凭借专家经验，理论上可以在一定的时间内找到最优解或近似最优解。AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm232019/10/4常用的智能优化算法遗传算法GeneticAlgorithm，简称GA模拟退火算法SimulatedAnnealing，简称SA禁忌搜索算法TabuSearch，简称TS……AlgorithmsinMathematicalModelingGeneticAlgorithm242019/10/4智能优化算法的特点它们的共同特点：都是从任一解出发，按照某种机制，以一定的概率在整个求解空间中探索最优解。由于它们可以把搜索空间扩展到整个问题空间，因而具有全局优化性能。Al