导航原理-惯性导航-休拉调谐

§4.2惯性导航的基本原理和分类惯性导航是一种自主式的导航方法。它完全依靠机载设备自主地完成导航任务，和外界不发生任何光、电联系。因此隐蔽性好，工作不受环境条件的限制。这一独特优点，使其成为航天、航空和航海领域中的一种广泛使用的主要导航方法。惯性导航的基本工作原理是以牛顿力学定律为基础，利用一组加速度计连续地进行测量，而后从中提取运动载体相对某一选定的导航坐标系(可以是人工建立的物理平台，也可以是计算机存储的“数学平台”)的加速度信息；图4.2平面惯性导航原理图通过一次积分运算(载体初始速度己知)便得到载体相对导航坐标系的即时速度信息；再通过一次积分运算(载体初始位置已知)得到载体相对导航坐标系的即时位置信息。对于地表附近的运动载体，例如飞机，如果选取当地地理坐标系作为导航坐标系，则上述速度信息的水平分量就是飞机的地速，上述的位置信息将换算为飞机所在处的经度、纬度L以及高度h。惯导系统工作原理的数学描述如下：设一飞行器以一定的加速度a运动，其初始速度为V(t0)。其速度可以表示为：飞行器的瞬时位置可表示为：式中，为飞机的初始位置向量。kttkdttatvtv0)()()(0kttkdttvtrtr0)()()(0)(0tr若在载体运动过程中，利用陀螺使平台始终跟踪当地水平面，三个轴始终指向东、北、天方向。在这三个轴上分别安装上加速度计测量东加速度ae、北向加速度an、天向加速度au。将这三个方向上的加速度分量进行积分，便可得到载体沿三个方向的速度分量为：kkkttuuuttnnntteeedtatvvdtatvvdtatvv000)()()(000载体在地球上的位置，可用经、纬度和高程表示，通过对速度积分得到，即：kkkttttttdthhhdtLLLdt000000式中，为载体的初始位置；分别表示经、纬度和高程的时间变化率，则载体的位置可由运动速度计算，即0h00Lh0LuMnNevhhRvLLhRvcos)(式中，RM、RN分别表示地球子午圈、卯酉圈的曲率半径，初始位置应事先给出并输入惯导系统。0h00L借助于已知导航坐标系，通过测量或计算，还可得到载体相对当地地平坐标系的姿态信息，即航向角、俯仰角和倾斜角。于是，通过惯性导航系统的工作，可即时地提供全部导航参数。图4.2平台式惯导系统原理示意图惯导系统的分类：（按结构）平台式惯导系统捷联式惯导系统（SINS）图4.3捷联式惯导系统原理示意图§4.3休拉(舒拉、舒勒)调谐4.3.1休拉调谐原理•在运载体上确定出地垂线后即可确定出运载体的姿态。因此在导航系统中确定地垂线是一项重要的技术。•在静止或匀速直线运动条件下，地垂线可用单摆等简单方法确定出来。当运载体具有加速度时，单摆不能正确指示地垂线，而且加速度越大，单摆偏离地垂线越严重。德国科学家休拉发现当单摆的无阻尼振荡周期为84.4分钟时，指示垂线的精度不受加速度的影响。1923年休拉发表了论文阐述这一原理，即休拉调谐原理。aBαaαbαlmgmaROαb地球地心A(0时刻)飞机在0时刻处于水平匀速直线运动状态，这时摆处于垂线位置（OA），0时刻以后以加速度a作水平直线加速运动，经过t时刻后到达B点，由于加速度a的作用，摆偏离垂线OＢ，偏差角为。ba为摆的角位移，为地垂线的角位移。ab根据动量矩定理，单摆的运动方程为cossinmalmglJa（1）由式（1）可知ba（2）（3）•其中，是由飞机运动引起的地垂线的角加速度bRab（4）将式（4）（3）代入（2），得cossinmalmglRJaJ（5）1cossin假设垂线偏差角很小，则有则式（5）可简化为aRJmlJmgl)1(（6）当时，垂线偏差角与加速度无关，而只与垂线偏差角的初值有关。01RJml垂线偏差角的解析解为tttssssin)0(cos)0()(（7）Rgs)0()0(和其中称为休拉频率，为摆的初始偏差角和偏差角变化率初值。根据休拉频率，可以计算出对应角频率的振荡周期：Rgsmin4.8481.96371000222gRTss（8）称为地球上的休拉周期。0)0(0)0(和从式7可以看出，如果，则不论运载体的运动状态如何，摆都能正确指示地垂线，这种摆称为休拉摆。实现休拉摆的条件（8）称为休拉调谐条件。休拉摆工程实现上的困难•若用单摆来实现，则根据单摆的振荡周期计算公式，单摆的摆长应该等于地球半径R才能成为休拉摆，实现困难。•若用物理摆来实现，则物理摆实现休拉调谐的条件是。•即，由于R是地球半径，所以l很小，不易实现，为了使l尽量大，必须在摆的质量m一定的条件下转动惯量J最大。根据这些限制条件进行了计算：物理摆设计成环状是最佳方案，假设环半径r=0.5m，环的质量全部集中在•圆周上，可计算出glTp201RJmlmRJlmmRmrmRJl04.024.3.2单轴惯导系统和休拉调谐的实现•以沿子午面飞行的单轴惯导系统为例，为北向加速度，由北向加速度计AN测量，加速度计的标度因数为Ka，测得的加速度输出到积分器。积分器的标度因数是Ku，对加速度进行一次积分运算，得到北向速度VN，经过一个计算环节可以求出地垂线的旋转角速度，作为指令角速度信号输入到（东向）陀螺力矩器。NaRVN•力矩器的标度因数为Km，它的输出用以操纵平台的修正回路。陀螺以及平台的整个特性可简化为1/HS的环节。修正回路带动平台转动角，地垂线改变的角度为，于是误差角。为平台偏离地垂线的角度。由于误差角的存在，则加速度计还敏感一个与重力加速度的分量相反的加速度。21RsaNbbagga1/RS2aNKaKu/S1/RKm1/HSgaa-aba-加速度计积分器计算力矩器陀螺与平台图1惯导平台单轴水平回路简化框图下面对图1方块图进行化简，得到图2。1/RS2aNagKaKuKm/RHS2-aa-ab图2aNa(s)g1/RKaKuKm/RH1/S2--Y(s)X(s)由图3，可以求出X(s)、Y(s)、)(s的表达式：图3RHKKKgsRHKKKaRHKKKgsasXmuamuaNmuaN)(])([)(RHKKKgsRRHKKKaRasXsYmuamuaNN)()1()()(2)()(ssYsRHKKKgsRHKKKaRHKKKgsasXmuamuaNmuaN)(])([)(RHKKKgsRRHKKKaRasXsYmuamuaNN)()1()()(2)()(ssYsaNa(s)KaKuKm/RH-1/R-1/S2gKaKuKm/RHY(s)图401RRHKKKmua1HKKKmuaNa当时，即，平台偏离地垂与加速度无关。线的角度aNa(s)0-1/S2gKaKuKm/RHY(s)图5RgssRgss2220/1/1/10)(由图5得即0)()(2sRgs对应的时域微分方程为0)()(tRgttttssssin)0(cos)0()()0()0(Rgsmin4.8422gRTss其中，和为平台偏离地垂线角度及其变化率，对应的周期为的初值，角频率上述分析说明：设计单轴惯性平台时，只要满足1HKKKmua的条件，就可以使平台具有84.4分钟的振荡周期，从而实现休拉调谐。§4.4惯导基本方程——比力方程不论是平台惯导系统还是捷联惯导系统，都要遵循共同的惯导基本方程，本节就来推导惯导基本方程。载体相对地球运动，地球又相对惯性空间运动，因此，对地球而言，载体的惯性加速度包含了相对加速度和哥氏加速度等。若要求得载体相对地球的运动，就要确定这些加速度之间的关系。设载体在地心惯性坐标系中的位置矢量为R，则利用矢量的相对导数和绝对导数的关系，载体位置矢量R在地心惯性坐标中的导数可表达为RRRieeidtddtd上式可改写为——地球自转产生的牵连速度epVedtdR——运载体相对地球的运动速度，简称地速，记作ie——是地球坐标系相对惯性坐标系的角速度，即地球自转角速度，下标“ie”表示“地球坐标系相对惯性坐标系”的意思。RieRRieepiVdtd对上式再次求绝对变率，得iieiepidtddtdVdtd|)(22RR由于地球自转角速率可近似地认为是常量，则0|iiedtd所以上式可简化为)()()(|22RVVRVVRVVRVRieieepieepippepieieepieiepieepieiepiieiepiVdtddtddtddtddtddtdepieip，代入上式，得)()2(22RVVRieieepepiepepidtddtd我们来看一下上式等号左边，等号左边表示的是运载体相对惯性坐标系的绝对加速度，怎么表示这个绝对加速度呢？设运载体上加速度计质量块的质量为m，质量m受到的力有非引力外力F和地球引力mG（当然也包括其他星球的引力，只是量级非常小，忽略不计），G为引力加速度。根据牛顿第二定律有：idtdmm22RGFGfRidtd22mFf其中是单位质量上作用的非引力外力，称为比力（specificforce）。)()2(RωωVωωVGfieieepepiepepdtd变换得)()2(RωωGVωωfVieieepepiepepdtd来看一下上式等号右边最后两项，是重力加速度g，gVfVepepieep)2(此式即为惯导基本方程，也称为比力方程PgG图4-3重力矢量图OZ()ieiegGR上式改写为gVfVepepieep)2(比力方程的说明：是进行导航计算需要获得的载体（平台系）相对地球的加速度向量；f为加速度计所测量的比力向量，比力方程说明只有当加速度计的测量值f消除掉了有害加速度之后，才能积分获得地速。（有害加速度是由地球自转和载体相对地球运动而产生的加速度，为计算需要把它从f中消除掉，因此称为有害加速度。g为重力加速度向量）epVepepieVωω)2(epV（4-4-1）式（4-4-1）表示的是比力方程的向量形式，也可以写成沿平台坐标系的投影形式。平台坐标系的取法不同，投影的形式也不同，我们先确定平台坐标系的ozp轴的方向，oxp、oyp轴的方向确定在后面再讨论。ozp轴的正方向选为重力加速度的反方向，即指向天。根据矢量叉乘的公式，可以把惯导基本方程写成如下的矩阵形式：gVVVfffVVVpzpypxpepxpiexpepypieypepxpiexpepzpiezpepypieypepzpiezpzpypxpzpypx0002)2()2(022)2(0§4.5惯性高度通道的稳定性分析根据比力方程的矩阵形式，可以求出高度通道的表达式：gVVfVpypepxpiexpxpepypieypzpz)2()2(令pypepxpiexpxpepypieypzVVa)2()2(上式简化为gafVpzpzpz重力加速度与高度的关系式为)21()1(020RhgRhgg根据上面两个式子，可以画出惯性高度通道的方块图。垂直加速度计---fzpgg0hazpVepzp2g0/R1/s1/s由图得RgsRgsssfshpz0202221)1(2111)()(0202RgsRgs02特征方程为特征根为所以高度通道是不稳定的。z