复变函数与积分变换期末试题(附有答案)

共6页第页1复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i的幅角是（2,1,0,23kk）；2.)1(iLn的主值是（i432ln21）；3.211)(zzf，)0()5(f（0），4．0z是4sinzzz的（一级）极点；5．zzf1)(，]),([Rezfs（-1）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（）；（A）yxiuuzf)(；（B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）xyivuzf)(.2．C是正向圆周3z，如果函数)(zf（），则0d)(Czzf．（A）23z；（B）2)1(3zz；（C）2)2()1(3zz；（D）2)2(3z.3．如果级数1nnnzc在2z点收敛，则级数在（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；共6页第页2（C）iz1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散．４．下列结论正确的是()（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B)如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(Cdzzf（C）如果0)(Cdzzf，则函数)(zf在C所围成的区域内一定解析；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．(A)的可去奇点；为z1sin(B)的本性奇点；为zsin(C);1sin1的孤立奇点为z(D).sin1的孤立奇点为z三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，求.,,,dcba解：因为)(zf解析，由C-R条件共6页第页3yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax,2,2da，,2,2dbca,1,1bc给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．计算Czzzzed)1(2其中C是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数zzezfz2)1()(在复平面内只有两个奇点1,021zz，分别以21,zz为圆心画互不相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d)1(d)1(d)1(222CzCzCzzzzezzzezzzeizeizeizzzz2)1(2)(2021无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）．3342215d)2()1(zzzzz解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理共6页第页4]),([Re2d)2()1(3342215zfsizzzzz-----（5分）]1)1([Re22zzfsi----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(zzzzzzf0,z)12()1(11)1(34222有唯一的孤立奇点zzzzzf1)12()1(11)1(]0,1)1([Re34220202limlimzzzzzfzzfszz33422152d)2()1(zizzzz--------（10分）（4）函数2332)3()(sin)2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.解：，的奇点为,3,2,1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf（1）的三级零点，）为（032103zkkzsin,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,zfzzfzz210（3）的一级极点，为)(3zfz共6页第页5（4）的三级极点；，为)(4,3,2zfz（5）的非孤立奇点。为)(zf备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、（本题14分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1解：（1）当110z])11(1[)1(1)1(1)(2zzzzzf而])1()1([])11(1[0nnnzz01)1()1(nnnzn021)1()1()(nnnznzf-------6分（2）当10z)1(1)1(1)(22zzzzzf=021nnzz共6页第页602nnz-------10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf03031)1(1)(nnnnzzzzf------14分每步可以酌情给分。五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：1)0(1)0()(4)(5)(yyexyxyxyx解：对)(xy的Laplace变换记做)(sL，依据Laplace变换性质有11)(4)1)((51)(2ssLssLssLs…（5分）整理得)4(151)1(65)1(10111)4(151)1(61)1(10111)4)(1)(1(1)(ssssssssssssL…（7分）xxxeeexy415165101)(…（10分）共6页第页7六、（6分）求)()(0tetf的傅立叶变换，并由此证明：tedt2022cos解：)()(0dteeFtti--------3分)()(000dteedteeFttitti)()()(000dtedtetiti)()()(000ieietiti)()(021122iiF------4分)()()(021dFetfti--------5分)(022122deti)()sin(cos0122dtit)(sincos0222022dtidt共6页第页8得分得分得分)(cos)(02022dttf，-------6分tedt2022cos«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．21i的幅角是（,2,10,24kk）；2.)1(iLn的主值是（42ln21i）；3.211)(zzf，)0()7(f（0）；4．3sin)(zzzzf，]0),([Rezfs（0）；5．21)(zzf，]),([Rezfs（0）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（）；（A）xyivuzf)(；（B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）yxiuuzf)(.2．C是正向圆周2z，如果函数)(zf（），则0d)(Czzf．（A）13z；（B）13zz；（C）2)1(3zz；（D）2)1(3z.共6页第页93．如果级数1nnnzc在iz2点收敛，则级数在（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散．４．下列结论正确的是()（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B)如果0)(Cdzzf,其中C复平面内正向封闭曲线,则)(zf在C所围成的区域内一定解析；（C）函数)(zf在0z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0zz的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．（A）、lnz是复平面上的多值函数；cosz)B(、是无界函数；zsin)C(、是复平面上的有界函数；（D）、ze是周期函数．三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）求dcba,,,使)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，解：因为)(zf解析，由C-R条件得分共6页第页10yvxuxvyuydxayx22,22dycxbyax,2,2da，,2,2dbca,1,1bc给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．Czzzd)1(12．其中C是正向圆周2z；解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数zzzf2)1(1)(在复平面内只有两个奇点1,021zz，分别以21,zz为圆心画互不相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d)1(1d)1(1d)1(1222CCCzzzzzzzzz0)1(12)1(2021zzzizi（3）．计算Czzzezd)1(13，其中C是正向圆周2z；解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：2z内，由留数定理122]),([Re2(z)diczfsizfz-----（5分）共6页第页11z1)1111)(!31!2111(11)1(323221213zzzzzzzzezzezzz)1111)(!41!31!21(3222zzzzzzz)!31!2111(1c38izfz238(z)d2（4）函数332)(sin)2)(1()(zzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.，的奇点为,3,2,1,0,)(kkzzf的三级零点，）为（032103zkkzsin,,,,,的可去奇点，是的二级极点，为)(2)(,1zfzzfz的三级极点；，为)(4,3,2,0zfz的非孤立奇点。为)(zf给出全部奇点给5分。其他酌情给分。共6页第页12四、（本题14分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1（1）110z，（2）10z，（3）z1解：（1）当110z])1(1(1[)1(1)1(1)(2zzzzzf而])1([])1(1(1[0nnzz01)1(nnzn02)1()(nnznzf--------6分（2）当10z)1(1)(2zzzf=02)1(1nnnzz02)1(nnz-----10分（3）当z1得分共6页第页13)11(1)1(1)(32zzzzzf03031)1()1(1)(nnnnnzzzzf--------14分五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题1)0(,0)0()(3)(2)(yyexyxyxyx解：对)(xy的Laplace变换记做)(sL，依据Laplace变换性质有11)(3)(21)(2ssLssLsLs…（5分）整理得)4)(1)(1(2)(sssss