解三角形完整讲义

1正余弦定理知识要点：1、正弦定理:2sinsinsinabcRABC或变形：::sin:sin:sinabcABC.2、余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2*absinC7、三角学中的射影定理：在△ABC中，AcCabcoscos，…8、两内角与其正弦值：在△ABC中，BABAsinsin，…【例题】在锐角三角形ABC中，有（B）A．cosAsinB且cosBsinAB．cosAsinB且cosBsinAC．cosAsinB且cosBsinAD．cosAsinB且cosBsinA9、三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直正弦定理专题：公式的直接应用1、已知ABC△中，2a，3b，60B，那么角A等于（）A．135B．90C．45D．302、在△ABC中，a＝32，b＝22，B＝45°，则A等于（C）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°3、ABC△的内角ABC，，的对边分别为abc，，，若26120cbB，，，则a2等于（）A．B．2C．D．4、已知△ABC中，30A，105C，8b，则a等于（B）A．4B.42C.43D.455、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（B）A．310B．1310C．13D．3106、已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若31sinA，Bbsin3，则a等于．（33）7、△ABC中，45B，60C，1c，则最短边的边长等于（A）A.63B.62C.12D.328、△ABC中，:1:2AB，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（C）A.13B.12C.34D.09、在△ABC中，证明：2222112cos2cosbabBaA。证明：222222222222sinsin211sin21sin212cos2cosbBaAbabBaAbBaA由正弦定理得：2222sinsinbBaA2222112cos2cosbabBaA专题：两边之和1、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，12ba，则a＝；b＝.（61236,24612）2、已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（1）求边AB的长；（2）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．专题：三角形个数63231、△ABC中，∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC(C)A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定2、ΔABC中,a=1,b=3,∠A=30°,则∠B等于（B）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°3、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D）A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100°C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D）A．a=1,b=2,c=3B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°C．b=c=1,∠B=45°5、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（B）A．无解B．一解C．二解D．不能确定6、满足A=45°,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则am的值为（A）A．4B．2C．1D．不定7、已知△ABC中，Aba,209,181121°，则此三角形解的情况是无解8、在△ABC中，已知503b，150c，30B，则边长a。1003或503专题：等比叠加1、△ABC中，若60A，3a，则sinsinsinabcABC等于（A）A.2B.12C.3D.322、在△ABC中，A=60°,b=1,面积为3，则sinsinsinabcABC=.2393专题：变式应用1、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则cba::2:3:12、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：23、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::cba②6:5:2::cba③cmccmbcma3,5.2,2④6:5:4::CBA其中成立的个数是(C)A．0个B．1个C．2个D．3个44、在△ABC中，已知边10c,cos4cos3AbBa，求边a、b的长。解：由，sinBsinA,可得，变形为sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π－2B,∴A+B=.∴△ABC为直角三角形.由a2+b2=102和，解得a=6,b=8。5、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若CaAcbcoscos3，则Acos_________________。6、设锐角三角形ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，2sinabA．（1）求B的大小；（2）求cossinAC的取值范围．专题：求取值范围1、△ABC中，已知Bbxa,2,60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围(C)A．2xB．2xC．3342xD．3342x2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（B）A．51xB．135xC．50xD．513x3、在锐角中，则的值等于，的取值范围为.2答案：设由正弦定理得由锐角得，又，故，所以余弦定理专题：公式应用1、在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于（C）A．30°B．45°C．60°D．120°2、在三角形ABC中，537ABACBC，，，则BAC的大小为（）coscosAbBabacossincossinABBA243baABC1,2,BCBAcosACAAC)3,2(,2.AB,12.sin2sin2coscosACBCACACABC029004501803903060233045cos225A．23B．56C．34D．33、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为(B)A.90°B.120°C.135°D.150°4、在△ABC中，Bca,2,33150°，则b＝75、在△ABC中，若)())((cbbcaca，则A（C）A.090B.060C.0120D.01506、在△ABC中，三边长分别为3,5,6abc,则coscoscosbcAcaBabC的值为（D）A．38B．37C．36D．357、在△ABC中，已知bccba222，则角A为（C）A．3B．6C．32D．3或328、在钝角△ABC中，已知1a，2b，则最大边c的取值范围是。53c9、设a、b、c是ABC的三边长，对任意实数x，222222()()fxbxbcaxc有（B）A.()0fxB.()0fxC.()0fxD.()0fx9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（B）A．52B．C．16D．410、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线27AD，那么BC=911、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x+(sinC－sinB)=0有等根，那么角B（D）A．B60°B．B≥60°C．B60°D．B≤60°(sinA-sinC)²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB)=sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB)=(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)²专题：判断三角形1、若tantan1AB，则△ABC（A）A.一定是锐角三角形B.可能是钝角三角形C.一定是等腰三角形D.可能是直角三角形2、在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（C）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3、△ABC中，60B，2bac，则△ABC一定是（D）25760xx213,AB,sincosBA6A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（A）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定5、△ABC中，coscoscosabcABC，则△ABC一定是（D）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6、在△ABC中，若cCbBaAsincoscos，则△ABC是（B）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形7、若ABC△的内角ABC、、的对边分别为abc、、，且coscosaAbB，则（）A．ABC△为等腰三角形B．ABC△为直角三角形C．ABC△为等腰直角三角形D．ABC△为等腰三角形或直角三角形8、ABC△的内角ABC、、的对边分别为abc、、，根据下列条件判断三角形形状：2222(1).()()3sin2sincos_______(2).()sin()()sin()_______.abcbcabcABCABCabABabABABC，且，则△是；，则△是9、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是（B）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形10、在△ABC中，已知CBAsincossin2,那么△ABC一定是(B)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形11、在△ABC中，若BbAacoscos，则△ABC的形状是（D）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形12在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若Cbacos2，则此三角形一定是（C）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形13、在△ABC中，若22tantanbaBA，则△ABC的形状是（B）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（B）A．10,8B．10,8C．10,8D．8,1015、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=127,则ΔABC是______三角形.钝角16、在△ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断△ABC的形状。解：由正