2013年四川高考理科数学试卷及答案

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()．A．{－2}B．{2}C．{－2,2}D．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()．A．AB．BC．CD．D答案：B3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A,2x∈B，则()．A．p：x∈A,2xBB．p：xA,2xBC．p：xA,2x∈BD．p：x∈A,2xB答案：D25．(2013四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ππ0,22的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，π3B．2，π6C．4，π6D．4，π3答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22，则取k＝0，∴φ＝π3.故选A．6．(2013四川，理6)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－23y＝1的渐近线的距离是()．A．12B．32C．1D．3答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3yx，即3x－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离|30|322d.故选B．7．(2013四川，理7)函数331xxy的图象大致是()．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx→0且大于0，故排除D，故选C．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga3－lgb的不同值的个数是()．A．9B．10C．18D．20答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lga－lgb＝lgab，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lgab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C．9．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()．A．14B．12C．34D．78答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由图示得，该事件概率1643164SPS阴影正方形.10．(2013四川，理10)设函数f(x)＝exxa(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sinx上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是()．A．[1，e]B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]答案：A解析：由题意可得，y0＝sinx0∈[－1,1]，而由f(x)＝exxa可知y0∈[0,1]，当a＝0时，f(x)＝exx为增函数，∴y0∈[0,1]时，f(y0)∈[1，e1]．∴f(f(y0))≥e1＞1.∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))＝y0成立，故B，D错；当a＝e＋1时，f(x)＝ee1xx，当y0∈[0,1]时，只有y0＝1时f(x)才有意义，而f(1)＝0，∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故C错．故选A．第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：4必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答)答案：10解析：由二项式展开系数可得，x2y3的系数为35C＝25C＝10.12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________.答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2.13．(2013四川，理13)设sin2α＝－sinα，α∈π,π2，则tan2α的值是__________．答案：3解析：∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.又∵α∈π,π2，∴cosα＝12.∴sinα＝231cos2.∴sin2α＝32，cos2α＝2cos2α－1＝12.∴tan2α＝sin2cos2＝3.14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．答案：(－7,3)解析：当x≥0时，令x2－4x＜5，解得，0≤x＜5.又因为f(x)为定义域为R的偶函数，则不等式f(x＋2)＜5等价于－5＜x＋2＜5，即－7＜x＜3；故解集为(－7,3)．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)5答案：①④解析：由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝32|AB|＝32，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜32，故②错；对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，故O为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．解：设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝232nn.17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cos2ABcosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝35，(1)求cosA的值；(2)若42a，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．解：(1)由22cos2ABcosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝35，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝35，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝35.6则cos(A－B＋B)＝35，即cosA＝35.(2)由cosA＝35，0＜A＜π，得sinA＝45，由正弦定理，有sinsinabAB，所以，sinB＝sin22bAa.由题知a＞b，则A＞B，故π4B.根据余弦定理，有2(42)＝52＋c2－2×5c×35，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝22.18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．7解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝13；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝16.所以，输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1027210037621006972100乙10512100696210