弹性力学与有限元完整版

第一篇弹性力学•第一章弹性力学基本方程1.1绪论1.2弹性力学的基本假定1.3几个基本概念1.4弹性力学基本方程•第二章弹性力学平面问题2.1平面应力问题2.2平面应变问题2.3平面问题的基本方程•第三章弹性力学问题求解方法简述•第一章弹性力学基本方程1.1绪论1.2弹性力学的基本假定1.3几个基本概念1.4弹性力学基本方程应力应变位移弹性体外界作用弹性力学基本内容外力温度变化•弹性力学，又称弹性理论。–是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。•弹性力学的研究对象：–是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。•研究的内容：–外力作用下应力、应变、位移1.1弹性力学绪论•物体变形——弹性变形、塑性变形•弹性变形：–当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关，也与变形历史无关。•塑性变形：–当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应，与时间、与加载历程有关。•弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出来的理想模型。•完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。•应力—应变关系称为本构关系。•材料模型包括：–线性弹性体–非线性弹性体1.2弹性力学的基本假定1.连续性假设根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。2.均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论。。3.各向同性假设–假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化。像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材料力学研究的对象。4.完全弹性假设–应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满足胡克定理。5.小变形假设–在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。1.3几个基本概念1.外力2.一点的应力状态3.一点的形变4.位移分量•作用于物体的外力可以分为3种类型：体力、面力、集中力。•体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。•面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。•集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一般不用，而在有限元中经常出现）1外力①体力物体任意一点P所受体力的大小和方向，在P点区域取一微小体积元素△V，设△V的体力合力为△F，则△V的平均体力为当△V趋近于0，则为P点的体力•体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的大小和方向不同。•体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz分解，用X、Y、Z表示，称为体力分量。•符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。•体力的因次：[力]/[长度]^3•表示：F={XYZ}②面力与体力相似，在物体表面上任意一点P所受面力的大小和方向，在P点区域取微小面积元素△S，当△S趋近于0，则为P点的面力•面力分量•符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。•面力的因次：[力]/[长度]^2③集中力体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点上，作用区域△V或△S很小，但数值很大，这种形式的力可以认为是集中力。•集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解，用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。•符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。•体力的因次：[力]2一点的应力状态•①应力表示方法材料力学中接触过斜截面上的应力，斜截面上应力可以分成正应力、剪应力；复杂物体任意截面上的应力可分为1个与平面垂直的正应力、2个平面内剪应力。X面Z面•正应力分量3个：xyz、、xyxzyxyzzxzy、、、、•剪应力分量6个：正面负面X面Z面•②应力符号意义xyz、、xy•剪应力：•正应力：由法线方向确定作用面作用方向•符号规定：正面上与坐标轴正向一致，为正；负面上与坐标轴负向一致，为正。•③剪应力互等定理xyzxyyzzx、、、、、剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向。•应力分量：xyyxyzzyxzzx相等{}xyzxyyzzx3一点应变分量•①微分单元体的变形：–微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变–棱边之间夹角的变化；剪应变xyzxyyzzx正应变分量3个：剪应变分量3个：xyz、、xyyzzx、、•②应变的定义（自学）设平行六面体单元，3个轴棱边：–变形前为MA，MB，MC；–变形后变为M'A'，M'B'，M'C'。xyz、、•③正应变（小变形）（自学）•符号规定：正应变以伸长为正。•④剪应变（自学）•符号规定：正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。4位移分量•位移：由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，位置移动即产生位移。•位移——刚体位移、变形•刚体位移——物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改变。•变形——物体整体位置不变，弹性体在外力作用下发生形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起位移。•后者与弹性体的应力有着直接的关系——弹性力学研究的主要变形，通常叫位移。u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M’(x’，y’，z’)，这一过程也是连续的，为x、y、z的单值连续函数ufvw形变和位移之间的关系：•位移确定→形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。•形变确定，位移不完全确定：从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，ε、γ确定，求位移是积分运算，出现待定函数。应力应变位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力•弹性力学分析过程中：–通过静力平衡、几何变形和本构关系建立起外力、应力、应变、位移之间相互关联。–再必须根据已知物理量，（一般外力、结构几何形状和约束条件等），推导和确定基本未知量（应力、应变、位移。1.4弹性力学基本方程1.平衡方程（应力——外力之间的关系）2.物理方程（应变——应力之间的关系）3.几何方程（柯西方程）（应变——位移之间的关系）4、变形协调方程5、边界条件•如果物体表面的面力已知，则称为应力边界条件：第一类边界条件•如果物体表面的位移已知，则称为位移边界条件：第二类边界条件•混合边界条件=第一类+第二类5、边界条件应力边界条件：位移边界条件：cos,cos,cos,NxlNymNzn外法线的方向余弦方程数量：平衡方程——3个物理方程——6个几何方程——6个合计15xyzxyyzzx、、、、、未知量：应力分量——6个应变分量——6个位移分量——3个u、v、w合计15xyzxyyzzx、、、、、空间问题•第二章弹性力学平面问题2.1平面应力问题2.2平面应变问题2.3平面问题的基本方程2.1平面应力问题1、平面应力问题的概念平面应力问题讨论的弹性体为薄板。薄壁厚度远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面O-xy面内，并沿厚度方向z不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。平面应力问题•①几何特征–薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸–等厚度–中心层平直•②受力特征–外力平行于中心层–外力沿厚度不变化根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。2、平面应力问题的应力•应力分量•应变分量xyxy、、{}xyxyz0xyxy、、xyxy0yzzx=3、平面应力问题应力、应变1平面应变问题的概念–弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。–可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。2.2平面应变问题•几何特征–一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸–中心轴平直–沿中心轴截面不变化•受力特征–外力垂直于中心轴–外力沿中心轴长度方向不变化平面应变问题2、平面应变问题的位移•沿纵向轴的位移恒等于零；•由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z轴无关。•只要是x、y坐标函数•应力分量xyxy、、{}xyxyxyxy、、xyxy0zyzzx=•应变分量0zyzzx03、平面应变问题的应力、应变2.3平面问题的基本方程1.平衡方程（应力——外力之间的关系）2.几何方程（应变——位移之间的关系）3.物理方程（应变——应力之间的关系）•平面应力与平面应变问题的：平衡方程、几何方程相同。但物理方程不同。从空间问题推得。•①平面应力的物理关系•①平面应力的物理关系21μ0[]μ101μ1μ002EDD•②平面应变的物理关系0zyzzx=•②平面应变的物理关系D1μ0[]μ10(1)(1-2)12002ED平面应变问题平面应力问题z向应力分量z=n(x+y)z＝0z向位移分量w＝0w≠0正应变分量二者主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式•③两种平面问题的区别•④两种平面问题的内在关系平面应力平面应变.1,12EE.1,)1()21(2EE平面应力平面应变平面应变平面应力•④两种平面问题的内在关系1μ0[]μ10(1)(1-2)12002ED平面应力平面应变.1,12EE平面应力平面应变21μ0[]μ101μ1μ002EDD•4变形协调方程平面应力平面应变由6个简化为1个调和方程方程数量：平衡方程——2个物理方程——3个几何方程——3个合计8xyxy、、未知量：应力分量——3个应变分量——3个位移分量——2个u、v合计8xyzxy、、平面问题第三章弹性力学问题求解方法简述应力应变位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力3.1概述根据几何方程和本构方程可见：位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。•假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。•如果已知应力分量，通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。应力应变位移•①位移解法：若以位移函数作为基本未知量求解，根据物理方程和几何方程，应力分量及平衡方程均由位移分量表达；•②应力解法：若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法，对于应力解法，应力分量