海森堡的矩阵力学

量子力学课程简介量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。本课程是物理学专业的专业必修课程之一。设置量子力学课程的主要目的是：⑴使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解决较简单问题的能力。⑵使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与提高打下必要的基础。基本粒子原子核原子分子团簇纳米体系介观体系研究对象天体物理宇宙学能源化学生物学材料科学目的要求1.深入理解微观粒子的运动特性。2.掌握描述微观粒子运动的方法，即量子力学的数学框架。3.初步掌握应用量子力学处理简单体系的方法。学习方法少问为什么多问是什么主要内容I.绪论：量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论，微观粒子的波粒二象性。II.波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，测不准原理和态迭加原理，薛定谔方程，一维定态问题。III.力学量的算符表示：表示力学量的算符，算符的本征值和本征函数，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测不准关系，力学量平均值随时间的变化，对称性与守恒律，电子在库仑场中的的运动，氢原子。IV.态和力学量的表象：态的表象，算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述，幺正变换。V.近似方法：定态微扰理论，变分法的基本原理及方法，含时微扰理论（跃迁几率、光的发射和吸收、选择定则）。VI.电子自旋与角动量：电子自旋，自旋算符和波函数，角动量耦合，涉及自旋-轨道耦合时哈密顿的处理方法。VII.全同粒子体系：全同粒子的特性，玻色子与费密子，全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋波函数，氦原子，氢分子。VIII.散射：散射过程的一般描述，散射截面，分波法，玻恩近似，方形势阱与势垒所产生的散射。参考教材1．周世勋，量子力学教程，人民教育出版社。2．曾谨言，量子力学，科学出版社。3．L.I.希夫，量子力学，人民教育出版社。4．A.梅西亚，量子力学，人民教育出版社。5．钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。第一章绪论§1.2经典物理学的困难§1.3光的量子性§1.4玻尔的量子论§1.1量子力学发展简史§1.5微观粒子的波粒二象性§1.6波函数的统计解释§1.1量子力学发展简史1896年气体放电管，发现阴极射线。1897年J.JThomson通过测定荷质比，确定了电子的存在。1900年M.Plank提出了量子化假说，成功地解释了黑体辐射问题。1905年A.Einstein将量子化概念明确为光子的概念，并解释了光电效应。同年创立了狭义相对论。1924年L.deBröglie提出了“物质波”思想。1913年N.Bohr提出了原子结构的量子化理论（旧量子论）1911年E.Rutherfold确定了原子核式结构1923年A.H.Compton散射证实了光子的基本公式hE/hp的正确性，并证实在微观碰撞过程中能量守恒、动量守恒成立。第二节§1.2经典物理学的困难一、固体与气体分子的比热二、原子的线状光谱与稳定性问题三、黑体辐射四、光电效应一、固体与气体分子的比热固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。因此，固体的定容比热为C=3R≈5.96cal/kv图1.1固体比热实验发现，在极低温度下，固体比热都趋于0，如图所示。此外，若考虑到原子由原子核和若干电子组成，为什么原子核与电子的这样多自由度对于固体比热都没有贡献？CVT3R多原子分子的比热也存在类似的问题。例如，双原子分子有6个自由度（三个平动自由度、两个转动自由度、一个振动自由度），比热应该为7R/2。双原子分子的比热实际上只有在高温下为7R/2，在常温下，观测结果为5R/2，在低温度下它们的比热都降到了3R/2。CVT3R/25R/27R/2分子的转动与振动能级EhnEn)(21IhllEl2)1(2f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，速率大的分子数越多f(v)=4m2kT3/2v2e-mv/2kT2二、原子的线状光谱与稳定性问题1895年Röntgen发现X射线1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样，原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。1.原子的稳定性1904年Thomson提出有关原子结构的Thomson模型1911年Rutherford通过α粒子散射实验提出Rutherford模型，即今天众所周知的“核式结构模型”由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而丧失能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原子也就“崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定的存在着。2.原子的线状光谱及其规律6562.8Å4861.3Å4340.5Å4101.7ÅHαHβHδHγH∞图1.2氢原子光谱（Balmer系）最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光谱线的波数具有下列规律5,4,3)121(~22RnR1581.109677cmRBalmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差)()(~mTnTnm其中m,n是某些整数。显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。三、黑体辐射实验表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。单色辐出度dTdmTM),(),(单位时间、单位表面积上所辐射出的、单位波长间隔中的能量。辐射出射度0),()(dTMTM入射总能量吸收能量),(T吸收比反射比入射总能量反射能量),(T1),(),(TT对于非透明物体基尔霍夫定律：),(),(),(0TMTTM在热平衡下，任何物体的单色辐出度与吸收比之比，是个普适函数。绝对黑体的热辐射规律对于任意温度、或波长，绝对黑体的吸收比都恒为1用不透明材料制成一空心容器，壁上开一小孔，可看成绝对黑体黑体000),()(dTMTM绝对黑体的辐射出射度斯忒藩(Stefan)-玻耳兹曼定律）开（米瓦428/1067.5维恩位移定律开米310897.2b实验发现：当绝对黑体的温度升高时，单色辐出度最大值m向短波方向移动。),(0TM1700k1500k1300k经典物理遇到的困难瑞利和琼斯用能量均分定理电磁理论得出：402),(ckTTM只适于长波，有所谓的“紫外灾难”。),(0TM实验瑞利-琼斯线维恩线T=1646k维恩根据经典热力学得出：TcecTM2510),(秒米焦耳/1070.32161c开米221043.1c112),(520TkhcehcTM),(0TM实验瑞利-琼斯线维恩线T=1646k普朗克线普朗克的拟合结果普朗克能量子假说*辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值*存在着能量的最小单元（能量子=h)*振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量从理论上推出：112),(520TkhcehcTM分别是玻尔兹曼常数和光速。ck和h=6.62610-34焦耳。oλ(μm)123568947MBλ维恩瑞利--金斯实验值紫外灾难四.光电效应光电效应的实验规律及经典理论的困难UG饱和光电流强度与入射光强度成正比。或者说：单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比U0312UIIS0相同频率，不同入射光强度U03U02U01312UIIS0相同入射光强度，不同频率光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。截止电压的大小反映光电子初动能的大小20021mVeUaUKU0截止电压与入射光频率有线性关系aeUeKmV20210UaU0红限频率*经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率有关而与光强无关。经典理论的困难：*只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。而经典认为有无光电效应不应与频率有关。*瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间，即需能量的积累过程。当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸出金属表面。逸出表面后，电子的动能为：AhmV2021A称为逸出功。只与金属性质有关。与光的频率无关。（4）当（临界频率）时，电子无法克服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。hA/0Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K是趋于0的现象。这时，Plank的光量子能量不连续性概念才引起很多人的注意。§1.3光的量子性一、光的量子性二、Plank-Einstein关系三、ComptonScattering一、光的量子性干涉、衍射现象：光是波赫兹：光是电磁波黑体辐射、光电效应：光的量子性:电磁辐射的能量是被一份一份地发射和吸收的。二、Plank-Einstein关系Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念：即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是：并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实，得出光子的动量P波长λ的关系：hE//hcEp三、Compton散射Compton散射曾经被认为是光子概念以及Plank-Einstein关系的判定性实验。早在1912年，C.Sadler和A.Meshan就发现X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验结果。康普顿散射的实验规律：1、散射线波长的改变量随散射角增加而增加。2、在同一散射角下相同,与散射物质和入射光波长无关。3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。8散射角00450900135Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即X射线频率变小而波长增大。相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守恒，即：eepppEhmch2（5）（6）222)6(/)5(c并利用相对论中能量动量关系式22222/cmpcEee散射角可得222222)()(1cmpphmchc（7）对于光子，chpchp/,/则coscos2chpppp代入式（7），可解出)cos1(12mch（