结构力学-矩阵位移法-PPT

结构力学STRUCTUREMECHANICS知识点：•矩阵位移法的基本要点•常见单元单元刚度矩阵的建立•单元刚度矩阵的坐标变换•矩阵位移法计算连续梁和刚架第十章矩阵位移法掌握矩阵位移法的基本要点；教学基本要求:理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义及方法。掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。常见单元的单刚矩阵；重点:前处理法的基本思想；由单刚形成总纲的方法，定位向量的确定等效结点荷载的简单确定方法。单元划分，结点总码和局部码的编写方法及对应关系。难点：前处理法中由单刚对号入座形成总纲。一般荷载如何正确的转化成等效结点荷载。1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m行和n列，称为mn阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOML2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n时，称n阶方阵3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=[]aaaan1112131···由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：矩阵代数复习A=aaam11211M211122211211bbaaaaAB222112112111aaaabbBA4、纯量5、矩阵乘法两个规则：（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。（2）不具有交换律，即ABBA非共形共形nmnlpmCBA当p=l时才能相乘6、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132其转置矩阵为ATaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若A=BCD则7、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。若AB=0不一定A=0或B=0AB=0TTTTBCDA8、对角矩阵对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：D=aaamm1122000000000000O9、单位矩阵单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为1用I表示，如I=100001000000001O任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI=AIA=A10、逆矩阵在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若此处A-1称为矩阵A的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。AB=C则B=A-1CAA-1=A-1A=I11、正交矩阵若一方阵A每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则A=cossinsincosaaaa-正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1=AT1基本思路简单概括为：“先分再合，拆了再搭”根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构，进行整体分析——建立结点力与结点位移之间的关系（结构刚度方程）。将结构离散成有限的单元，进行单元分析——建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。解算刚度方程，完成结构计算。§10.1概述结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法2.结构矩阵计算方法的类型：力法——矩阵力法……位移法——矩阵位移法……PF结点力结点位移杆端力杆端位移（平衡条件）（几何条件）（物理条件）矩阵力法（柔度法）：0Δxδxδxδ0Δxδxδxδ0Δxδxδxδ2pi3i2321312pi2i2221211pi1i212111LLLPF结点力结点位移杆端力杆端位移（平衡条件）（几何条件）（物理条件）矩阵位移法（刚度法）：0Rzrzrzr0Rzrzrzr0Rzrzrzr3pi3i2321312pi2i2221211pi1i212111LLL3.矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。理论基础：位移法分析工具：矩阵计算手段：计算机4.矩阵位移法的基本要点：一分一合•化整为零------结构离散化将结构拆成杆件,杆件称作单元.单元的连接点称作结点.•单元分析：建立单刚方程对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力•集零为整------整体分析：建立整刚方程单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移单元分析*杆件结构杆端力与杆端位移之间的关系)e()e()e(kFo`xy`整体分析*杆件结构杆件结构结点力与结点位移之间的关系（图）kP任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程整体分析的几个环节2、将单元结点荷载集合成整个结构的结点荷载1、将单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵3、引入结构的位移边界条件结点位移4、确定整个结构的平衡方程：杆端位移杆端力5、求解杆端力：ΔkP一.结构的离散化把结构假想地划分成有限个单元，单元之间由结点连接，结点的位移是描述整个结构状态的基本参数，也就是矩阵位移法的基本未知量。1.单元－－每个杆件看作一个单元2.结点－－支座点、杆件转折点、杆件的汇交点、力的作用点、截面突变点。3.结点荷载－－矩阵位移法中荷载必须作用于结点上，作用在结点上的荷载称为结点荷载。结构的离散化*单元划分的原则*单元划分举例杆系结构实体结构计算精度计算机容量123485761234567PPqlql/2二.结点位移和结点力1.结点位移－－结构在结点荷载作用下发生变形，结构的各结点产生位移，称为结点位移也就是杆端位移，包括线位移（ui、vi）和角位移(θi)。平面桁架杆单元的每个结点有两个位移分量（ui、vi）平面刚架杆单元的每个结点有三个位移分量（ui、vi、θi）2.结点力－－由于结构承受结点荷载作用，杆单元的内力状态可用其两端的杆端力（力和弯矩）来表示。对整个结构来说，汇交于每一结点的各杆端力的总和即等于使结构各结点发生实际位移时在该结点所需施加的力，称为结点力。通常情况下，对于非结点荷载，也要把它换算成等效结点荷载，并与结点位移一一相对应。结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取荷载作用点。单元：两结点间的等直杆段。1342xy121122yx右手系①②③§10.2单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵1.杆系结构的单元划分—把杆系结构按结点分成若干单元图中1、2、3、4点均为结点图中1-3、2-4、3-4均为单元。编码：兰的结点编号称整体码。红的1、2局限于单元，称局部码。坐标（右手法则确定）兰的坐标称整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标2.任意单元的杆端力和杆端位移的表示上图所示为一等截面单元，它的两端分别用i、j表示，当不考虑两端的约束情况时，共有六个杆端位移和六个杆端力。XiYiYjXjMiMjuiviφiujvjφji端的杆端位移：iuivi相应的杆端力：iXiYiMj端的杆端位移：jujvj相应的杆端力：jXjYjMXiYiYjXjMiMjuiviφiujvjφj对单元ij建立直角坐标系xyz，其中x轴与单元的截面形心轴重合，并规定由i到j的方向为正方向。y轴和z轴为杆件横截面的两个主惯性轴，以右手法则定出y轴和z轴的方向，这个坐标系称为单元的局部坐标系。XiYiYjXjXiYiYjXjMiMjuiviφiujvjφj在局部坐标系中，杆端位移和杆端力的正方向均规定与坐标轴正方向一致时为正，转角和弯矩的正方向按右手法则规定为逆时针方向。因为图示弯矩（或转角）是绕z轴旋转的，当规定它的力偶矢量与z轴正方向一致时为正，则其正方向应该是逆时针方向。XiYiYjXjMiMjuiviφiujvjφjXiYiYjXjMiMjuiviφiujvjφjXiYiYjXjMiMjuiviφiujvjφjjjiiejjiieMMvuvuDYXYXFjiji3.自由单元的单元刚度方程基本原理：在弹性小变形条件下，叠加原理成立。已有知识：转角位移方程、单跨梁形常数和载常数。自由单元：指两端不受约束的杆件。1）自由桁架单元XiXjuiuj材料力学有：)()(ijjjiiuulEAXuulEAXEANll--上式写成矩阵形式：)()()(ejieejiuulEAlEAlEAlEAXX--)()(ijjjiiuulEAXuulEAX--在矩阵中，第一列的两个元素就是当（即i端沿x轴正方向发生单位位移）时，单元的两个杆端力；第二列的两个元素就是当（即j端沿x轴正方向发生单位位移）时，单元的两个杆端力；由于单元刚度矩阵的行数等于杆端力的分量数，其列数等于杆端位移的分量数，所以单元刚度矩阵是一方阵。为自由桁架单元的单元刚度方程，矩阵Ke称为自由桁架单元对应于局部坐标系单元刚度矩阵。)()()(eeeKDF即：--1111lEAKe扩大到4阶：为了便于坐标变换，轴力单元一般采用如下形式：)()()(000000000000ejjiieeijiivuvulEAlEAlEAlEAYXYX--2）自由梁式单元YiYjMiMjviφivjθjjjiijjjiijjjiiijjiiilEIvlEIlEIvlEIMlEIvlEIlEIvlEIYlEIvlEIlEIvlEIMlEIvlEIlEIvlEIY46266126122646612612222222222222------YiYjMiMjviφivjθj写成矩阵形式)()(222222222222)(406266126122646612612ejjiieejjiivvlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIMYMY------粱式单元刚度方程单元刚度矩阵自由刚架单元的刚度方程，可由自由桁架单元和自由梁单元的刚度方程组合而成，因为目前所研究的是线性变形体系，在弹性小变形范围之内，按梁的精确理论分析可知，杆件的轴向变形与弯曲变形之间的相互影响很小，在一般情况下可忽略不计，于是可将桁架单元、梁单元的刚度方程进行组合，即可得到自由刚架单元对应于xyz局部坐标系的刚度方程。3）自由刚架单元XiYiYjXjMiMjuiviθiujvjθj单元刚度方程注意：每行、每列、每个元素的含义?单元刚度矩阵ke单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义ijke—代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。例如35212lEIke-代表单元杆端第2个位移分量时所引起的第5个杆端力分量的数值。1ievjeY（2）单元刚度矩阵是对称矩阵，即jiijkk。（3）一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵；ke从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵ke的行列式ke=0因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程FeeDFeeDkFeee由有一组力的解答(唯一的)，即正问题。由如果