2019年高考一轮复习抛物线

抛物线1.抛物线的定义(1)平面内与________________________________________轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的_______，定直线l叫做抛物线的_________.(2)其数学表达式：2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)性质顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于_________，通径是过焦点最短的______.2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝________，也称为抛物线的焦半径3.直线AB过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角)．(5)以AB为直径的圆与准线相切．(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.一．1.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.742.若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________.3.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.4.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.5.(2016·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是______6.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为()A．41B．7C．6D．97.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为()A．3716B．115C．3D．28.(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值为M的坐标为()A．(0,0)B．(12，1)C．(1，2)D．(2,2)二．9.(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.810.如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.11.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.12.设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x13.(2016·石家庄调研)若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x14.(2016·全国卷Ⅱ，5分)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A．12B．1C．32D．2课后练习（1）一、选择题1.(2018·济南月考)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0，1)，则a等于()A.1B.12C.2D.142.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B.1C.32D.23.(2018·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A.9B.8C.7D.64.(2018·铁岭质检)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为()A.π3B.π4C.π3或2π3D.π4或3π45.(2018·衡水调研)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值为()A.12B.24C.16D.326.已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A.x2＝833yB.x2＝1633yC.x2＝8yD.x2＝16y7.(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.108.(2018·南昌模拟)已知抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.316B.38C.233D.433二、填空题9.(2018·广东省际名校联考)圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心是抛物线y2＝px(p0)的焦点，则p＝________.10.(2018·黄山模拟)已知抛物线C：y2＝8x，焦点为F，点P(0，4)，点A在抛物线上，当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时，延长AF交抛物线于点B，则△AOB的面积为________.11.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.12.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.三．15.(2016·临沂模拟)如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p0)相交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，且点D的坐标为(3，3).(1)求p的值；(2)若F为抛物线的焦点，M为抛物线上任一点，求|MD|＋|MF|的最小值16.已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.课后练习（2）1.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为()A.2B.728C.22D.5262.(2018·太原一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为6，则|AB|＝()A.6B.8C.12D.163.(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.104.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A．23B．25C．43D．455.(2017·江苏省扬州市邗江中学期中数学试题)抛物线y＝3x2的准线方程是_______6.(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________7.(2016·唐山模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝__________8.(2018·赣州调研)在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.9.(2018·郑州一模)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.10.若抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－12，则实数m的值为________.11.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截得直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝35，求此抛物线方程.12.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OCOAOB，求λ的值．13..(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.14.(2018·大连双基测试)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，椭圆E的离心率为22，过点M(m，0)作斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P54，0，且PA→·PC→为定值.(1)求椭圆E的方程；(2)求m的值.(2018·河北百校联考)已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，AF→＝3FB→，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为()A.839B.1639C.3239D.6439解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF→＝3FB→，所以y1＝－3y2，设直线l的方程为x＝my＋1，由y2＝4x，x＝my＋1消去x得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，∴y1＝23，y2＝－233，∴y1＋y2＝4m＝433，∴m＝33，∴x1＋x2＝103，AB的中点坐标为53，233，过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y－233＝－33x－53，令y＝0，可得x＝113，所以S△ABG＝12×113－1×23＋233＝3239.答案C