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书书书第十一章 三角形１ １１．１ 与三角形有关的线段一、知识与技能目标１．了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形．２．理解三角形三边之间的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形，并能运用它解决相关的问题．３．会画三角形的高、中线与角平分线．４．知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性以及三角形的稳定性在生产、生活中的应用．二、过程与方法目标经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线，同时了解三角形的三条高所在的直线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，知道重心的概念．三、情感态度与价值观目标在运用符号表示三角形、利用三角形三边关系解决问题的过程中，了解数学的抽象、严谨和应用广泛的特点；在讨论交流的过程中勇于发表自己的观点；通过对三角形稳定性的分析，体会数学的应用价值．重点：三角形的有关概念和符号表示，三角形三边之间的关系，三角形的高、中线与角平分线，三角形的稳定性及应用．难点：用三角形三边之间的不等关系判定三条线段可否组成三角形，三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高．自主探究、合作探究；三角尺、三角形木架、四边形木架、木条、钉子．１课时一、三角形的边１．情景导入三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔、香港中银大厦、交通标志等等，都有三角形的影子． 那么什么叫做三角形呢？２．三角形及有关概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接． 八年级数学（上）·Ｐ２ 组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．相邻两边的公共端点是三角形的顶点．三角形犃犅犆用符号表示为△犃犅犆，读作“三角形犃犅犆”．三角形犃犅犆的顶点犆所对的边犃犅可用犮表示，顶点犅所对的边犃犆可用犫表示，顶点犃所对的边犅犆可用犪表示．３．三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形．我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形．按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形｛｛钝角三角形那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类．三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都不相等的三角形叫做不等边三角形．显然，等边三角形是特殊的等腰三角形．按边分类：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形｛｛等边三角形４．三角形三边的不等关系探究：任意画一个△犃犅犆，假设有一只小虫要从犅点出发，沿三角形的边爬到犆，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？为什么？有两条路线：（１）从犅→犆，（２）从犅→犃→犆；不一样，犃犅＋犃犆＞犅犆①；因为两点之间线段最短．同理有犃犆＋犅犆＞犃犅，②犃犅＋犅犆＞犃犆．③由式子①②③我们可以知道什么？三角形两边的和大于第三边．由①②③分别移项后可以得到结论：三角形两边的差小于第三边．５．例题例 用一条长为１８ｃｍ的细绳围成一个等腰三角形．（１）如果腰长是底边长的２倍，那么各边的长是多少？（２）能围成有一边长为４ｃｍ的等腰三角形吗？为什么？分析：要解答本例，首先要清晰下面的几个问题：（１）求等腰三角形三边的长是多少，若设底边长为狓ｃｍ，则腰长是多少？（２）“一边长为４ｃｍ”是什么意思？解：（１）设底边长为狓ｃｍ，则腰长为２狓ｃｍ．狓＋２狓＋２狓＝１８．解得狓＝３．６．所以，三边长分别为３．６ｃｍ，７．２ｃｍ，７．２ｃｍ．（２）如果长为４ｃｍ的边为底边，设腰长为狓ｃｍ，则４＋２狓＝１８．解得狓＝７．如果长为４ｃｍ的边为腰，设底边长为狓ｃｍ，则２×４＋狓＝１８．解得狓＝１０．因为４＋４＜１０，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是４ｃｍ的等腰三角形．由以上讨论可知，可以围成底边长是４ｃｍ的等腰三角形．第十一章 三角形３ 二、三角形的高、中线与角平分线１．导入新课我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高．与三角形有关的线段，除了三条边和高外，还有中线和角平分线值得我们研究．２．三角形的高请你在图１中画出△犃犅犆的一条高，并说说你的画法．如图１，从△犃犅犆的顶点犃向它所对的边犅犆所在的直线画垂线，垂足为犇，所得线段犃犇叫做△犃犅犆的边犅犆上的高，表示为：犃犇⊥犅犆于点犇．注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线．请你再画出这个三角形犃犅，犃犆边上的高，你有什么发现？三角形的三条高相交于一点．如果△犃犅犆是直角三角形或钝角三角形，上面的结论还成立吗？现在我们来画直角三角形和钝角三角形三边上的高，如图２． 图１ 图２ 显然，上面的结论成立．３．三角形的中线如图，连接△犃犅犆的顶点犃和它所对的边犅犆的中点犇，所得线段犃犇叫做△犃犅犆的边犅犆上的中线，表示为：犅犇＝犇犆或犅犇＝犇犆＝１２犅犆或２犅犇＝２犇犆＝犅犆．请你在图中画出△犃犅犆的另两条边上的中线，你有什么发现？三角形的三条中线相交于一点．我们将此交点叫做三角形的重心．如果三角形是直角三角形或钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答．显然，上面的结论还成立．４．三角形的角平分线如图，画∠犃的平分线犃犇，交∠犃所对的边犅犆于点犇，所得线段犃犇叫做△犃犅犆的角平分线，表示为：∠犅犃犇＝∠犆犃犇或∠犅犃犇＝∠犆犃犇＝１２∠犅犃犆或２∠犅犃犇＝２∠犆犃犇＝∠犅犃犆．思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的．请你在图中再画出另两个角的平分线，你有什么发现？三角形三个角的平分线相交于一点．如果三角形是直角三角形或钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答．显然，上面的结论还成立．想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部．三、三角形的稳定性１．情景导入盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ 八年级数学（上）·Ｐ４ ２．三角形的稳定性探究：（１）把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变． （２）把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变．（３）在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状不会改变．结论：三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性．３．三角形稳定性和四边形不稳定性的应用三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用．如：钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性．你还能举出一些例子吗？１１．１ 与三角形有关的线段一、三角形的边二、三角形的高、中线与角平分线三、三角形的稳定性１．本节是三角形学习的基础，难度不大．用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是本节的重点和难点．２．学生自主交流在本节学习中的体会、收获，以及可能存在的困惑，师生共同完成课堂小结．（辅以几何画板来演示，加深学生对这三种重要线段的理解）３．引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力．第十一章 三角形５ １１．２ 与三角形有关的角一、知识与技能目标１．掌握三角形内角和定理、直角三角形两个锐角之间的关系和直角三角形的判定．２．理解三角形的外角．３．掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题．二、过程与方法目标１．通过探索“三角形内角和定理”及其推论，培养学生的探索能力和实践操作能力．２．在学习了三角形的内角和外角后，能运用所学知识解决简单的问题，训练学生对所学知识的运用能力．三、情感态度与价值观目标１．通过让学生积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心与求知欲．２．由具体实例的引导，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动中的乐趣．重点：三角形内角和定理、直角三角形两个锐角之间的关系、三角形的外角和三角形外角的性质．难点：三角形内角和定理的证明和直角三角形的判定．探索、归纳的方法；三角尺、量角器、剪刀、折纸．１课时一、三角形的内角１．导入新课我们在小学就知道三角形内角和等于１８０°，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？２．三角形内角和定理的证明回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？如图１和图２，把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠犅犆犇的度数，可得到∠犃＋∠犅＋∠犃犆犅＝１８０°． 图１ 图２ 八年级数学（上）·Ｐ６ 如图２，想一想，犆犕与△犃犅犆的边犃犅有什么关系？由这个图你能想出证明“三角形的内角和等于１８０°”的方法吗？已知△犃犅犆，求证：∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°．证明：过点犆作犆犕∥犃犅，则∠犃＝∠犃犆犕，∠犅＝∠犇犆犕，又∠犃犆犅＋∠犃犆犕＋∠犇犆犕＝１８０°，∴∠犃＋∠犅＋∠犃犆犅＝１８０°．即：三角形的内角和等于１８０°．３．直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定在直角三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃和∠犅有什么关系？引导学生应用三角形的内角和定理进行推导．结论：直角三角形的两个锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？引导学生应用三角形的内角和定理进行推导．结论：有两个角互余的三角形是直角三角形．４．例题例 如图，犆岛在犃岛的北偏东５０°方向，犅岛在犃岛的北偏东８０°方向，犆岛在犅岛的北偏西４０°方向，从犆岛看犃，犅两岛的视角∠犃犆犅是多少度？分析：要求出∠犃犆犅的度数，根据三角形内角和定理，只需求出∠犆犃犅和∠犆犅犃的度数即可．∠犆犃犅等于多少度？怎样求∠犆犅犃的度数？解：∠犆犃犅＝∠犅犃犇－∠犆犃犇＝８０°－５０°＝３０°．∵犃犇∥犅犈，∴∠犅犃犇＋∠犃犅犈＝１８０°．∴∠犃犅犈＝１８０°－∠犅犃犇＝１８０°－８０°＝１００°．∴∠犃犅犆＝∠犃犅犈－∠犈犅犆＝１００°－４０°＝６０°．∴∠犃犆犅＝１８０°－∠犃犅犆－∠犆犃犅＝１８０°－６０°－３０°＝９０°．答：从犆岛看犃，犅两岛的视角∠犃犆犅是９０°．二、三角形的外角１．导入新课如图，△犃犅犆的三个内角是什么？它们有什么关系？是∠犃，∠犅，∠犆，它们的和是１８０°．若延长犅犆至犇，则∠犃犆犇是什么角？这个角与△犃犅犆的三个内角有什么关系？２．三角形外角的概念∠犃犆犇叫做△犃犅犆的外角．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．想一想，三角形的外角共有几个？共有六个．注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角．第十一章 三角形７ ３．三角形外角的性质容易知道，三角形的外角∠犃犆犇与相邻的内角∠犃犆犅是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠犃犆犇与∠犃，∠犅的关系吗？∵犆犈∥犃犅，∴∠犃＝∠１，∠犅＝∠２．又∠犃犆犇＝∠１＋∠２，∴∠犃犆犇＝∠犃＋∠犅．结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．由加数与和的关系你还能知道什么？三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．即∠犃犆犇＞∠犃，∠犃犆犇＞∠犅．４．例题例 如图，∠１，∠２，∠３是三角形犃犅犆的三个外角，它们的和是多少？分析：∠１与∠犅犃犆、∠２与∠犃犅犆，∠３与∠犃犆犅有什么关系？∠犅犃犆，∠犃犅犆，∠犃犆犅有什么关系？解：∵∠１＋∠犅犃犆＝１８０°，∠２＋∠犃犅犆＝１８０°，∠３＋∠犃犆犅＝１８０°，∴∠１＋∠犅犃犆＋∠２＋∠犃犅犆＋∠３＋∠犃犆犅＝５４０°．又∠犅犃犆＋∠犃犅犆＋∠犃犆犅＝１８０°，∴∠１＋∠２＋∠３＝３６０°．结论：三角形外角的和等于３６０°．１１．２ 与三角形有关的角一、三角形的内角二、三角形的外角１．让学生经历观察、实验、猜想、证明