圆的方程-高考理科数学试题

（四十一）圆的方程[小题对点练——点点落实]对点练(一)圆的方程1．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选A.2．(2018·河北唐山模拟)圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.x－322＋y2＝254B.x＋342＋y2＝2516C.x－342＋y2＝2516D.x－342＋y2＝254解析：选C根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0)，半径为r，即圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，则有－a2＋12＝r2，2－a2＝r2，－a2＋－12＝r2，解得a＝34，r2＝2516，则圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.故选C.3．(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝5D．x2＋(y－1)2＝5解析：选A因为两平行直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0的距离为d＝|－6－4|5＝25.故所求圆的半径为r＝5，所以圆心(a,1)到直线2x－y＋4＝0的距离为5＝|2a＋3|5，即a＝1或a＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x－y－6＝0的距离也为r＝5，所以a＝1.因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A.4．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()A．2B．－2C．1D．－1解析：选D因为曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝9，若圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m＋4＝0，解得m＝－1.5．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为____________________．解析：依题意，直线AC的方程为y＋13＋1＝x－6－2－6，化为一般式方程为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝|－4|5＝4551.又因为|OA|＝－22＋32＝13，|OB|＝－22＋－12＝5，|OC|＝62＋－12＝37，所以原点为圆心的圆若与△ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，故圆的半径为1或37，则圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.答案：x2＋y2＝1或x2＋y2＝376．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝9对点练(二)与圆的方程有关的综合问题1．(2018·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋2B．2C．1＋22D．2＋22解析：选A将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1.2．(2018·广东七校联考)圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a0，b0)对称，则1a＋3b的最小值是()A．23B.203C．4D.163解析：选D由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a0，b0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a0，b0)，∴1a＋3b＝13(a＋3b)1a＋3b＝131＋3ab＋3ba＋9≥1310＋23ab·3ba＝163，当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝34时取等号，故选D.3．(2018·安徽安庆模拟)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0解析：选D由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.4．已知A(0,33)，B32，332，P为圆C：x2＋y2＝2x上的任意一点，则△ABP面积的最大值为()A.33＋32B.3C．2D.23＋23解析：选A化圆为标准方程得(x－1)2＋y2＝1，因为A(0，33)，B32，332，所以|AB|＝32－02＋332－332＝3，直线AB的方程为3x＋y＝33，所以圆心到直线AB的距离d＝|3－33|4＝3.又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为3＋1，故△ABP面积的最大值为Smax＝12×(3＋1)×3＝33＋32.5．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．解析：设圆心M坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝|AB|22，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝96．(2018·北京东城区调研)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意知，圆的半径r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π47．已知平面区域x≥0，y≥0，x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ为直角三角形，∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝|PQ|2＝5，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5[大题综合练——迁移贯通]1．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.因为直线y＝x与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有a2＋b2＝8，ba＝－1，解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝2.由于点C(a，b)在第二象限，故a0，b0，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有x－42＋y2＝16，x＋22＋y－22＝8，解得x＝45或x＝0(舍去)．所以存在点Q45，125，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．3．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ―→·MQ―→的最小值．解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，则a－22＋b－22＋2＝0，b＋2a＋2＝1，解得a＝0，b＝0，则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，PQ―→·MQ―→＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.令x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以PQ―→·MQ―→＝x＋y－2＝2(sinθ＋cosθ)－2＝2sinθ＋π4－2，又sinθ＋π4min＝－1，所以PQ―→·MQ―→的最小值为－4.