圆锥曲线过定点问题

1圆锥曲线过定点问题一、小题自测1.无论k取任何实数，直线0)142()32()41(kykxk必经过一个定点，则这个定点的坐标为.2.已知直线02:babyaxl；圆012:22xyxC，则直线l与圆C的位置关系为.二、几个常见结论：满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。1、过定点模型：,AB是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中,分别为,MAMB的倾斜角，则有下面的结论：①、MAMB为定值直线AB恒过定点；②、MAMBkk为定值直线AB恒过定点；③、(0)直线AB恒过定点.2、抛物线中的过定点模型：,AB是抛物线22(0)ypxp上的两动点，其中,分别为,OAOB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：12OAOBOAOBkk直线AB恒过定点(2,0)p.3、椭圆中的过定点模型：,AB是椭圆22221(0)xyabab上异于右顶点D的两动点，其中,分别为,DADB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：12DADBDADBkk直线AB恒过定点222(,0)acab.三、方法归纳：★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。★特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。★关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。2四、例题分析：例1：过椭圆2214xy的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点.求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．★证明：解法一：设1122(,),(,)MxyNxy，直线:MNykxm.22222(14)844014ykxmkxkmxmxy21212228440,1414kmmxxxxkkV则且，1212122yyAMANxx由得221212(1)(2)()40kxxkmxxm，22222448(1)(2)401414mkmkkmmkk，化简得：222516120,05()16120mmmkmkkkkQ解得：625mmkk或（舍），直线6:()5MNykx，过定点6(,0)5.解法二：（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）令2222228281144kkkkk，此时22286145kk，所以直线MN过定点6(,0)5.当2222245141,2864(1)145CMkkkkkkkk，22224542864(1)45CNkkkkkkk.,,,CMCNkkMNC三点共线，即：直线MN过定点6(,0)5.解法三：设直线:(2)(0)AMykxk，则直线1:(2)AMyxk222222(2)(14)16164014ykxkxkxkxy222221642842,,141414MMMkkkxxykkkQ所以点222284(,)1414kkMkk，同理：点222284(,)44kkNkk222222244514428284(1)144MNkkkkkkkkkkk，直线22224528:,()144(1)14kkkMNyxkkk令0y得2222222816(1)6(14)6145(14)5(14)5kkkxkkk，所以直线MN过定点6(,0)5.3例2：2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）已知椭圆C：22221xyab0ab，四点111P，，201P，，3312P，，4312P，中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过2P点且与C相交于A、B两点，若直线2PA与直线2PB的斜率的和为1，证明：l过定点．★分析：出现,PAPBPAPBkkkkkk（P是曲线上一动点，,AB是曲线另外两点），可以得到直线AB过定点。★解：（1）根据椭圆对称性，必过3P、4P，又4P横坐标为1，椭圆必不过1P，所以过234PPP，，三点将2330112PP，，，代入椭圆方程得222113141bab，解得24a，21b∴椭圆C的方程为：2214xy．（2）①当斜率不存在时，设:AAlxmAmyBmy，，，，221121AAPAPByykkmmm，得2m，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设1lykxbb∶，1122AxyBxy，，，联立22440ykxbxy，整理得222148440kxkbxb，122814kbxxk，21224414bxxk，则22121211PAPByykkxx21212112xkxbxxkxbxxx222228888144414kbkkbkbkbk811411kbbb，又1b21bk此时64k，存在k使得0成立．∴直线l的方程为21ykxk，当2x时，1y，所以l过定点21，．★小结：此类问题的解题步骤：第一步：设直线AB的方程为ykxm，联立曲线方程得根与系数的关系，用0求出参数的取值范围；第二步：由AP与BP的关系，得到一次函数()kfm或者()mfk；第三步：将()kfm或者()mfk代入ykxm，得()ykxxy定定例3：已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，233)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的4动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．★分析：第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定点．★解：依题设c=1，且右焦点F(1，0)．所以，2a=EFEF=222323(11)2333，b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132yx．(2)设A(1x，1y)，B(2x，2y)，则2211132xy①，2222132xy②．②－①，得21212121()()()()032xxxxyyyy．所以，k1=212121212()423()63PPyyxxxxxyyy．(3)依题设，k1≠k2．设M(Mx,My)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360kxkkxk．于是，1221323Mkkxk，221223Mkyk．同理，1222323Nkkxk，122223Nkyk．当k1k2≠0时，直线MN的斜率k=MNMNyyxx222211212146()9()kkkkkkkk=21211069kkkk．直线MN的方程为2211222211121063()92323kkkkkyxkkkk，即21211222221211110610632()992323kkkkkkkyxkkkkkk，亦即2121106293kkyxkk．此时直线过定点2(0,)3．当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点2(0,)3．综上，直线MN恒过定点，且坐标为2(0,)3．★小结：此类问题的解题步骤：（交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤）第一步：设其中一条直线的斜率为1k，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两步，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。★拓展：若过抛物线的某定点作两条直线，这两条直线的斜率之和(积)为定值，那么两条线的中点连线必过一定点。五、练习反馈：51．如图，已知椭圆2214xy，直线l：4x，A，B是长轴的两端点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，设直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q，则以PQ为直径的圆C经过定点.2.已知椭圆22:142xyC的上顶点为A，直线:lykxm交椭圆于,PQ两点，设直线,APAQ的斜率分别为12,kk.（1）若0m时，求12kk的值；（2）若121kk时，证明：直线:lykxm过定点.3.已知椭圆2222:10xyCabab经过点312，，它的左焦点为0Fc，，直线1:lyxc与椭圆C交于A，B两点，ABF△的周长为3a.（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是直线2:3lyxc上的一个动点，过点P作椭圆C的两条切线PM、PN，MN，分别为切点，求证：直线MN过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆2222:10xyCabab上一点00xy，的椭圆的切线方程为00221xxyyab）.ABOyxMPQl:x=464.已知椭圆C：22221xyab（0ab）过点(21)P，，且离心率为22。过点P作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点（A、B与点P不重合）。求证：直线AB过定点，并求该定点的坐标。5.已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率22e，且其中一个焦点与抛物线214yx的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点1,03S的动直线l交椭圆C于,AB两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．76.已知1F、2F分别为椭圆1C:22221(0)yxabab的上、下焦点,其中1F也是抛物线22:4Cxy的焦点,点M是1C与2C在第二象限的交点,且15||3MF.（1）求椭圆1C的方程.（2）已知点(1,3)P和圆O:222xyb,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点,AB,在线段AB上取一点Q,满足:APPB,AQQB,(0且1).求证:点Q总在某定直线上.8圆锥曲线过定点问题答案：一、小题自测答案：1、（2,2）2、相交五、练习反馈答案：1、设直线:(2)(0)AMykxk，易得直线1:(2)4BMyxk，1(4,6),(4,)2PkQk圆C：21(4)(6)()02xykyk，整理得：221(4)(6)302xykyk由22(4)300xyy得定点为(43,0).2、解：（1）设00(,)Pxy，则00(,)Qxy200012200022212yyykkxxx（2）设11(,)Pxy，22(,)Qxy,22121212121212(2)(2)(2)()(2)1yykxxkmxxmkkxxxx22222(21)424024ykxmkxkmxmxy