2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何第2讲圆的方程理

2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何第2讲圆的方程理一、选择题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()．A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.答案A2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0a1，则原点与圆的位置关系是()．A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定解析将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0a1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)20，所以原点在圆外．答案B3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有a－12－b＋12－1＝0，b－1a＋1＝－1，解得a＝2，b＝－2，对称圆的半径不变，为1.答案B4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是()．A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6]解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.答案A5．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()．A．8B．－4C．6D．无法确定解析圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m＝6.答案C6．圆心为C－12，3的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足OP→·OQ→＝0，则圆C的方程为()．A.x－122＋(y－3)2＝52B.x－122＋(y＋3)2＝52C.x＋122＋(y－3)2＝254D.x＋122＋(y＋3)2＝254解析法一∵圆心为C－12，3，∴设圆的方程为x＋122＋(y－3)2＝r2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由圆方程与直线l的方程联立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝10－4r25.由OP→·OQ→＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：54x1x2－34(x1＋x2)＋94＝10－4r24＋154＝0，解得r2＝254，经检验满足判别式Δ0.故圆C的方程为x＋122＋(y－3)2＝254.法二∵圆心为C－12，3，∴设圆的方程为x＋122＋(y－3)2＝r2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即x＋122＋(y－3)2＝254，故选C.答案C二、填空题7．过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．解析设圆心坐标为(a，b)，圆半径为r，则圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆心在直线x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0，①又∵圆过两点A(0,4)，B(4,6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2，②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2，③由①②③得：a＝4，b＝1，r＝5，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.答案(x－4)2＋(y－1)2＝258．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．解析设P(x0，y0)，则|PA|2＋|PB|2＝x20＋(y0＋1)2＋x20＋(y0－1)2＝2(x20＋y20)＋2，显然x20＋y20的最大值为(5＋1)2，∴dmax＝74，此时OP→＝－6PC→，结合点P在圆上，解得点P的坐标为185，245.答案185，2459．已知平面区域x≥0，y≥0，x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为|PQ|2＝5，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案(x－2)2＋(y－1)2＝510．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．解析设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y20＋(x0－1)2＋y20＝2(x20＋y20)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x20＋y20的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.答案7434三、解答题11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，∴(a＋1)2＋b2＝40，②由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.12．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，根据题意得：－a2＋－1－b2＝r2，－1－a2＋－b2＝r2，a＋b－2＝0，解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，即S＝2|PM|2－4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2|PM|2min－4＝232－4＝25.13．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ→·MQ→的最小值．解(1)设圆心C(a，b)，则a－22＋b－22＋2＝0，b＋2a＋2＝1，解得a＝0，b＝0，则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且PQ→·MQ→＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，令x＝2cosθ，y＝2sinθ，∴PQ→·MQ→＝x＋y－2＝2(sinθ＋cosθ)－2＝2sinθ＋π4－2，所以PQ→·MQ→的最小值为－4.14．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解(1)设点P的坐标为(x，y)，则x＋2＋y2＝2x－2＋y2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.