算术基本定理

第七节算术基本定理定理11,1,,.aaqaqa设是任一大于的整数则的除外最小正因数是一质数并且当是合数时11111211:,,1,1,,,1,.,,1,,1,,,.qqqqqqaqaqaqaaaqaaqaqaqqaaqa证明假设不是质数由定义除及本身外还有一正因数因而但所以这与是的除以外的最小正因数矛盾故是质数当是合数时则且否则是质数由于是的除外的最小正因数所以故定理2•若p是一质数,a是任一整数,则a能被p整除或p与a互质.:(,),(,)0,(,)1,(,),(,)1.pappapapappapa证明因为由质数的定义或则或推论1212,,,,,,.nniaaanppaaapa设是个整数是质数若则一定能整除某一个121212:,,,,2,(,)1,1,2,,.(,)1,,.ninnaaappainpaaapaaa证明假设都不能被整除则由定理因此这与矛盾故结论成立定理3121,,(1).niaappppin任何大于的正整数可以写成素数之积即其中是素数111111122121221212:,.,,1,,(1).,;,,1,.,,,,,.nnaappaapaaaaapaaaappaaapppppp证明当是素数时定理成立当是合数时则必存在素数且若是素数则可知定理成立若是合数同理则必有素数以及适合的正整数使成立由于是有限的所以有限次地重复上述过程可得其中均为素数定理4(算术基本定理)12121212121,(1),,,,,,,,.nnnnnaappppppppp任何大于的整数可以唯一地表示成其中是素数是正整数12121212112111112121:3,1(1),,(1).(1)(1),,.,,,,.,,,.,,iinknkkjjjiiinkpinqikpppqqqapppqqqpaqqqqpqpqpqpqppppqqqp证明由定理知任何大于的整数可表示成的形式因此只需证明式的唯一性假设与都是素数且则必有某个使得从而同理又有某个使得所以又可知1.,,,.iiqnkpq从而重复上述这一过程得到所以结论成立定义及推论12124,,.nnapppa使用定理中的记号是的标准分解式推论4.1121212121,,(1,2,,),,,1,2,,.nnniniiaapppinaddpppin设是一个大于的整数且是正整数则的正因数可以表示成的形式:,,,(1),.,,.jjjjjjdaadqadpjnpdda证明若则又的标准分解式是唯一的故的标准分解式中出现的质数都在中出现且在的标准分解式中出现的指数反过来当时显然整除推论4.21212121212121212,,,,0,0,1,2,,.(,),[,],min{,},max{,},1,2,,.nnnnnniinniiiiiiabapppbpppinabpppabpppin设是任意两个正整数且则其中注:相关结论121212,(1)(1)(1).nnnapppaa已知是的标准分解式则的不同的正约数的个数等于例题•例1写出51480的标准分解式.32:514802351113.解•例2证明:在1,2,…,2n中任取n+1个数,其中至少有一个能被另一个整除.:2,2|,1,2,,2,1,2,,2,,1,(),.iiiiiijiinnnnijij证明记则为中的奇数即只能取个数值在个这样的数中必存在于是易知与成倍数关系•例3证明:(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].1111211:,,,,,,,,,0.(,[,]),[(,),(,)],1,min{,max{,}},max{min{,},min{,}},,min{,},miiiiikkkiiiiiikiiikkiiiiiiiiiiiiiiiiiiapbpcppppabcpabacpik证明设其中是互不相同的素数不妨设则又in{,}min{,},min{,},(,[,])[(,),(,)].iiiiiiiiabcabac4,:212,.nmnnm例设是正整数证明是素数的必要条件是其中为非负整数01123:1,12,213,.1,2,,,,21(2)1(1)(1),(2),2121,21,,21,2.mnqppppqqnnnmnnnnpnpqqtttttn证明当时是素数结论成立当时假设则可知必有奇数素因数令其中是正整数则其中是的真约数可知不是素数矛盾当时素数时必有思考问题•1求(84,4900),[84,4900],(945,245,5775),[945,245,5775].2,,:(,)[,].abababab设是整数证明1212121222223,,:,,,,,,(,)1,[,].abaabbaaabbbababab设是正整数证明存在使得并且•4.假设有正整数解x,y,试求a.•5.设奇数n1,证明:n是素数的充要条件是n不能表为三个或三个以上的相邻正整数之和.22xyaxy22222001222322003221:84237,4900257,(84,4900)235728,[84,4900]235714700.945357,24557,577535711,(945,245,5775)3571135,[945,245,5775]35711363825.解因为所以又因为所以111211min{,}max{,}112:,,,,,,,0.(,),min{,},1,[,],max{,},1,(,)[,].iiiiiiiiiikkiiiikiikiiiiikiiiiikkiiiiapbppppabpikabpikababppab证明设其中是互不相同的素数11122121212112121212223:,,,,,,,0.,max{,},,.0,,max{,},,.0,,,,,,,(,)1,[,iiiikkiiiikiikiiiiiiikiiiiiiiiapbppppaapaabbpbbaabbaaabbbaba证明设其中是互不相同的素数令其它其它则使得并且22].bab1111222211111111111111114.:(,),,,(,)1,,|,|,||,,1,2.xydxdxydyxyxyaxyxyyxxyyxxyxya解设即则得因此即且得故于是1212201020000(1)(2)5.1,1,,,2(1)(2)(1)().22,,.1,,3,1-,-1,2(1)(),,.kmkkmmmkkmknmmmkknnnnnnnnmnknnmmmkn个相邻正整数之和为设若显见是合数这就证明了必要性若奇数是合数则可取得可表示为三个或三个以上相邻正整数之和这就证明了充分性课后作业•1.如何把14,33,35,30,75,39,143,169分成两组(每组4个数),使这两组数的乘积相等.•2.120以内仅有10个正约数的自然数有几个?•3.已知A有12个正约数,B有10个正约数,且A、B的标准分解式中都只含有质因数3和5,(A,B)=75,求A+B.