函数的奇偶性练习题[(附答案)

函数的奇偶性1．函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是（）A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数C．奇函数且偶函数D．非奇非偶函数2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是(）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-2,2)4．已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0.+∞)时，f(x)=.5.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝lg(12x-x);(2)f(x)＝2x+x2(3)f（x）=).0()1(),0()1(xxxxxx6.已知g(x)=－x2－3,f(x)是二次函数，当x∈[-1,2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x)是奇函数，求f(x)的表达式。7.定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)0,求a的取值范围8.已知函数21()(,,)axfxabcNbxc是奇函数,(1)2,(2)3,ff且()[1,)fx在上是增函数,(1)求a,b,c的值;(2)当x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．10下列四个命题：（1）f（x）=1是偶函数；（2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函数；（4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．411下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()A.()sinfxxB.()1fxxC.1()2xxfxaaD.2()2xfxlnx12若y=f（x）（x∈R）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f（x）上的是（）A．（a，f（－a））B．（－sina，－f（－sina））C．（－lga，－f（lga1））D．（－a，－f（a））13.已知f（x）=x4+ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。14.已知22()21xxaafx是R上的奇函数，则a=15.若f(x)为奇函数，且在(-∞,0)上是减函数，又f(-2)=0，则xf(x)0的解集为________16.已知y=f(x)是偶函数，且在),0[上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是17.已知)21121()(xxxf（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）0。答案1.【提示或答案】D【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。2.【提示或答案】A【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念3.【提示或答案】D【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想【变式与拓展】1：f(x)是定义在R上的偶函数，它在),0[上递减，那么一定有(）A．)1()43(2aaffB．)1()43(2aaffC．)1()43(2aaffD．)1()43(2aaff【变式与拓展】2：奇函数f(x)在区间[3，7]上递增，且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是（）A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－54.【提示或答案】f(x)=-x-x4【变式与拓展】已知f（x）是定义在R上的奇函数，x0时，f（x）=x2－2x+3，则f（x）=________________。【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式5．【提示或答案】解(1)此函数的定义域为R.∵f(-x)+f(x)＝lg(21x+x)+lg(21x-x)＝lg1＝0∴f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。(2)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。（3）∵函数f（x）定义域（－∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性6．解：设2()fxaxbxc则2()()(1)3fxgxaxbxc是奇函数101,303aacc2221()3()324bfxxbxxb（1）当122b即-4b2时，最小值为：21314b22b222,()223bfxxx（2）当242bb即时,f(2)=1无解；（3）当122bb即时，2(1)13,()33fbfxxx综上得：2()223fxxx或2()33fxxx【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合7.【提示或答案】-11-a1-11-a21f(1-a)-f(1-a2)=f(a2-1),1-aa2-1得0a1【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题8．【提示或答案】解(1)()fx是奇函数，则2221110axaxaxcbxcbxcbxc由(1)212fab得,由2(2)30121afaa又,0,1aNa.当10,,.2abN时舍去当a=1时,b=1,211()xfxxxx【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质9【提示或答案】分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=－x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴12kx当10,12kk即时,f(0)=20,符合题意;当102k时,对任意t0,f(t)0恒成立2102(1)4201122kkk解得综上所述,所求k的取值范围是(,122)【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。10【提示或答案】B11【提示或答案】D12【提示或答案】D【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征13【提示或答案】6【基础知识聚焦】考查奇偶性及整体思想【变式与拓展】：f（x）=ax3+bx－8，且f（－2）=10，则f（2）=_____________。14【提示或答案】由f(0)=0得a=1【基础知识聚焦】考查奇偶性。若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0；f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)15【提示或答案】画图可知，解集为(,2)(2,);16【提示或答案】x-1,0x117【提示或答案】（1）偶函数（2）x0时，f(x)0,x0时-x0,f(x)=f(-x)0