《对数与对数运算》PPT课件

对数与对数运算问题1：假设2012年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么，经过多少年国民生产总值是2012年时的2倍？a(1+8%)x∴1.08x=2怎样求出这个x?析：------a------a(1+8%)-----a(1+8%)(1+8%)=a(1+8%)2-----a(1+8%)2(1+8%)=a(1+8%)32012年生产总值2013年生产总值2014年生产总值2015年生产总值？------=2aX年……ab=N解出b解出N指数底数幂对数底数真数a0且a≠1N0b∈Rb∈Ra0且a≠1b=logaNN0一般地，如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNaloga叫做对数的底数，N叫做真数。定义：练习：1.将下列指数式写成对数式(1)54=625(2)2-6=(3)3a=27(4)()m=5.73641314=log5625-6=log2(1/64)a=log327m=log(1/3)5.732.将下列对数式写成指数式(1)log16=4(2)log2128=7(3)log100.01=-2(4)loge10=2.3032116=4)21(128=270.01=10-210=e2.30310___3log.13___1log.25练习1：计算下列各式的值思考:?1loga?logaa?logNaa有关性质：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑵,01loga1logaa⑶对数恒等式NaNalog16log,1log,0log),1(log)2(132有意义吗？下面介绍两种特殊对数：１．常用对数：我们将以10为底的对数叫做常用对数，并记做．N10logNlg２．自然对数：无理数e=2.71828…,以e为底的对数称为自然对数，并记做Nelog.lnN⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数N10log简记作lgN。⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN。（6）底数a的取值范围：),1()1,0(真数N的取值范围:),0(例2求下列各式中x的值：xxx2x64lne-(4)100lg)3(68(2)log32log)1(2)223(log)5(x0)(loglog)6(25x例3计算下列各式:(1)25log5(2)161log2(3)15log15(1)解:225log25552(2)解:4161log161224(3)解:115log15对于幂的运算我们有三条运算法则.现在我们学习了对数,那么对于对数之间的运算,又会有什么样的运算性质呢?幂的运算的三条法则:),0,0()()3(),,0()()2(),,0()1(RrbabaabRsraaaRsraaaarrrrssrsrsr如果那么，且,0,01,0NMaaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log)1(证明：①设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴MN=paqaqpaqpMNalog即证得)(1NlogMlog(MN)logaaa证明：②设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴qpaaqpaqpNMalog即证得NM)(2NlogMlogNMlogaaa证明：③设,logpMa由对数的定义可以得：,paM∴npnaMnpMnalog即证得)(3R)M(nnlogMloganaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log)1(如果那么，且,0,01,0NMaa对数运算的三条运算法则：对于上面的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．对吗？请问：)5(log)3(log)]5()3[(log222其他重要公式1:NmnNanamloglog证明：设,logpNnam由对数的定义可以得：,)(pmnaN∴即证得NmnNanamloglogmpnaNpnmNalogpnmaN其他重要公式2:aNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca证明：设由对数的定义可以得：,paN即证得pNalog,loglogpccaN,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog这个公式叫做换底公式其他重要公式3:abbalog1log),1()1,0(,ba证明:由换底公式取以b为底的对数得：还可以变形,得,1logbbaNNccalogloglogabbbbalogloglogabbalog1log1loglogabba4log2)2(4log)1.(32log4log)2(24log)1.(29log3log)2()93(log)1.(1222222333例５用表示下列各式：zyxaaalog,log,log32log)2(log)1(zyxzxyaa例６计算下列各式：5572100lg)2();24(log)1(练习、求下列各式的值：探究换底公式：)0;1,0;1,0(logloglogbccaababacc且且如何推导？18lg7lg37lg214lg(1)(2)2lg20lg5lg8lg325lg22(3)7.0lg20lg)21lg(7lg(4)7.0lg20lg)21(7)0;1,0;1,0(logloglogbccaababacc且且证明：.logloglog,loglog,loglog,loglog,,logabbabpbapbacbabpccacccccpcpa即所以则有为底的对数两边取以，则令例7利用换底公式可得:2log12log3log3log3332请利用同样的方法证明:abbalog1log例8证明.NNamamloglog例9计算8log7log3log732bye!(请记住)(请记住)计算:16log2例1027log9例1132log9log278x01.113x01.11318例11999底我国人口为13亿,人口增长的年平均增长率为1%,则x年后，我国的人口数为；若问多少年后我国的人口达到18亿，即解方程，则1318log01.1x而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？方法：进行换底，把底换成以10，或者换成以e为底．01.1lg13118lg01.1lg1318lg1318log01.1gx01.1ln13ln18ln01.1ln1318ln1318log01.1x或者2lg5lg)7(15log5log)6(000001.0lg)5(3log6log)4(31log3log)3(100lg)2()927(log)1(332255223小结:积、商、幂的对数运算法则：如果a0，a1，M0，N0有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca1loglogabba),1()1,0(,ba