解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结(学生用)

解析几何中求曲线轨迹方程的常见方法总结一．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，化简即得动点轨迹方程。它的基本步骤是建系、设点、列式、代换、化简、证明。例1．已知线段6AB，直线BMAM,相交于M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。习题：1.（2011新课标全国理）在平面直角坐标系xOy中，已知1,0A，B点在直线3y上，M点满足,,//BAMBABMAOAMBM点的轨迹为曲线C，求C的方程。2.（2010年北京卷）在平面直角坐标系xOy中，点B与点1,1A关于原点O对称，P是动点，且直线AP与直线BP的斜率之积等于31，求动点P的轨迹方程。3.（2012四川理）如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程；yxBAOM4.(2012年江西)已知三点0,0O，1,2A，1,2B，曲线C上任意一点yxM,满足()2MAMBOMOAOB，求曲线C的方程；二．定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本曲线的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，求出待定方程中的常数，即可得到轨迹方程例2．若(8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是_______________。变式：1.方程222(1)(1)|2|xyxy表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线2.一动圆与已知圆1Q：1322yx外切，与圆2Q：813-22yx内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程。三、代入法：代入法又称转移法或相关点发，即如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，而点Q与点P之间的坐标又可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律例3.（2011年陕西卷）如图，设P是圆2225xy上的动点，点D是在x轴上的射影，M为PD上一点，且45MDPD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；变式：1.在圆422yx上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？2.已知P是以12,FF为焦点的双曲线221169xy上的动点，求12FFP的重心G的轨迹方程。3.抛物线24xy的焦点为F,过点(0,1)作直线l交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程。4．已知(1,0),(1,4)AB，在平面上动点Q满足4QAQB，点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点，求动点P的轨迹方程。四、参数法：若动点P的坐标yx,中的yx,分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，最后消去参数，就可以得到轨迹方程。注：用参数法求轨迹方程要注意合理选择参数，作参数的量通常是直线斜率、动点的坐标。求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例4：已知直线l过0,1M，与抛物线yx22交于BA,两点，O为坐标原点，点P在y轴的右侧，且满足OBOAOP2121，求P点的轨迹C的方程。1．设点A和B为抛物线24(0)ypxp上原点O以外的两个动点，且OAOB，过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程。五、交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交线的方程，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去得到轨迹方程，可以说是参数法的一种变形。例5.（2012年辽宁理）如图，椭圆0C：22221(0xyabab，a，b为常数)，动圆22211:Cxyt，1bta。点12,AA分别为0C的左，右顶点，1C与0C相交于A，B，C，D四点。求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;变式：1.（2010广东理）已知双曲线2212xy的左、右顶点分别为21,AA，点11(,)Pxy，11(,)Qxy是双曲线上不同的两个动点，求直线PA1与QA2交点的轨迹E的方程2．已知MN是椭圆12222byax中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。总结归纳1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明,xy的取值范围。2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性