2014中考二次函数复习典型题

第18讲二次函数的应用│考点随堂练│考点1二次函数与一次函数、反比例函数的综合1.如图17－1，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式kx＋x2＋10的解集是()A．x1B．x－1C．0x1D．－1x0图17－1[解析]由kx＋x2＋10，kx－x2－1，即y＝kx与y＝－x2－1交点的横坐标为－1，所以－1x0时，kx－x2－1.D2．某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系y＝－50x＋2600，去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况，如下表：月份1月5月销售量3.9万台4.3万台求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？解：设p与x的函数关系为p＝kx＋b(k≠0)，根据题意，得k＋b＝3.9，5k＋b＝4.3.解得k＝0.1，b＝3.8.所以p＝0.1x＋3.8.设月销售金额为w万元，则w＝py＝(0.1x＋3.8)(－50x＋2600)．化简，得w＝－5x2＋70x＋9880，所以，w＝－5(x－7)2＋10125.当x＝7时，w取得最大值，最大值为10125.答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．5．如图17－5，用长为18m的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形苗圃．(1)设矩形的一边长为x(m)，面积为y(m2)，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？图17－53．如图17－2所示，已知点B(1,3)、C(1,0)，直线y＝x＋k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.(1)填空：A点坐标为(________，________)，D点坐标为(________，________)；(2)若抛物线y＝13x2＋bx＋c经过C、D两点，求抛物线的解析式．图17－2－20－23解：(2)∵抛物线y＝13x2＋bx＋c经过点C(1,0)，点D(－2,3)，代入，解得b＝－23，c＝13.∴所求抛物线解析式为y＝13x2－23x＋13.考点2二次函数与几何图形4.如图17－3，正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是()图17－3ABCD图17－4[解析]S＝1－12x(1－x)×4，整理得，S＝2x－122＋12，抛物线开口向上，顶点为12，12.B解：(1)由已知，矩形的另一边长为(18－x)m，则y＝－x2＋18x，自变量x的取值范围是0＜x＜18.(2)∵y＝－x2＋18x＝－(x－9)2＋81，∴当x＝9时(0x18)苗圃的面积最大，最大面积是81m2.又解：∵a＝－1＜0，y有最大值．∴当x＝－182×－1＝9时(0x18)，y最大值＝0－1824×－1＝81m2.6．如图17－6，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(4,0)，B(2,2)，连接OB，AB.(1)求该抛物线的解析式；(2)求证：△OAB是等腰直角三角形．图17－6解：(1)由题意得16a＋4b＝0，4a＋2b＝2，解得a＝－12，b＝2，∴该抛物线的解析式为y＝－12x2＋2x.(2)证明：过点B作BC⊥x轴于点C，则OC＝BC＝AC，∴∠BOC＝∠OBC＝∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠OBA＝90°，OB＝AB，∴△OAB是等腰直角三角形．考点3二次函数与生产生活问题7.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－15x2＋3.5的一部分(如图17－7)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是()图17－7A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m[解析]把y＝3.05代入函数关系式，解得x1＝1.5，x2＝－1.5(舍去)，结合小敏站在题图所示的y轴左侧2.5m处，2.5＋1.5＝4(m)．B8．如图17－8所示，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A．6sB．4sC．3sD．2s图17－8[解析]小球抛出离手前的瞬间距地面0m，小球抛出后经历一段时间落地又距地面0m，由此设h＝0，得30t－5t2＝0，解得t＝0或6,6－0＝6(s)，所以选A.A9．如图17－9，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米．图17－90.5[解析]建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，A(0.5，－1.5)，B(2,0),O(0,0)，所以a＝2，b＝－4，c＝0，所以解析式为y＝2x2－4x，所以顶点坐标为(1，－2)，即最低点距地面的距离为2.5－2＝0.5(米)．10．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(1)假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)解：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x)＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)．(2)y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)配方得y＝－100(x－3)2＋6400.当x＝3时，y的最大值是6400元．即降价为3元时，利润最大．所以销售单价为10.5元时，利润最大，最大利润为6400元．归类示例类型之一二次函数解决抛物线形问题命题角度：1．二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题2．二次函数解决拱桥、护栏等问题王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y＝－15x2＋85x，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m.(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；(2)请求出球飞行的最大水平距离；(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式．图17－1[解析](1)由飞行路线满足抛物线，结合抛物线的性质，容易得到开口方向、顶点坐标、对称轴；(2)要想求出球飞行的最大水平距离，实际就是求出抛物线与x轴的另外一个交点的坐标；对于(3)需要重新建立一个解析式，但此抛物线已经知道了和x轴的两个交点和顶点坐标．解：(1)y＝－15x2＋85x＝－15(x－4)2＋165.∴抛物线y＝－15x2＋85x开口向下，顶点为4，165，对称轴为x＝4.(2)令y＝0，得－15x2＋85x＝0，解得x1＝0，x2＝8.∴球飞行的最大水平距离是8m.(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m.∴抛物线的对称轴为x＝5，顶点为5，165.设此时对应的抛物线解析式为y＝a(x－5)2＋165，又∵点(0,0)在此抛物线上，∴25a＋165＝0，a＝－16125，所以解析式为y＝－16125(x－5)2＋165.利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．类型之二二次函数在销售问题方面的应用命题角度：二次函数在销售问题方面的应用利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：图17－2请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？[解析](1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元．(2)利润＝(售价－进价)×件数．解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．根据题意，得x＋y＝5，3x＋1＋22y－1＝19，解得x＝2，y＝3.答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s＝(1－m)500＋100×m0.1＋(5－3－m)300＋100×m0.1.即s＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000(m－0.55)2＋1705.∴当m＝0.55元时，s有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是先求出两个变量的一次函数关系，再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值．