2017数学建模A题评阅要点

2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。CT系统参数标定及成像根据图1所示的二维平行光CT系统成像过程和模板（附件1）及其接收数据（附件2），建立数学模型标定CT系统的各个参数。进一步根据标定的系统参数，对附件3和附件4进行成像。问题1建立基于正方形托盘下待重建物体与接收信息之间关系的数学模型，并分析在所给模板下接收数据关于系统参数的变化规律。接收信息与X射线经过介质的长度成正比，根据附件1中模板介质的吸收率为1，可以得到系统的放大增益。若仅仅采用CT相关参考文献给出的通用性的线积分模型，不根据所给模板给出具体的数学模型，仅仅用非线性优化方法对所有参数一起求解，一般不可能得到系统参数中旋转角度的精准标定。间距0.2768离左端点的距离70.7107x29.6463ºy(-9.2663,6.2729)上图给出了所建立的坐标系和第一个旋转角度的示意图。旋转中心为(9.2663,6.2729)，旋转中心到探测器的垂足离探测器左端点的距离为70.7107，探测器单元的间距为0.2768，增益（即信号的放大倍数）为1.7725。前几个旋转角度分别为29.6463º，30.9999º，31.5553º，32.6447º，33.6770º，34.6463º，35.6463º；第16个旋转角度为44.7967º；第32个旋转角度为60.5453º；第89个旋转角度为117.4437º；最后两个旋转角度为207.6463º，208.6358º。探测器的位置大都是在前一个位置的基础上逆时针旋转1º。问题2根据问题1得到的系统参数，对另外一组接收数据进行重建。可以采用一般的CT重建模型，但应注意CT的旋转中心不在正方形托盘的中心，需要进行处理。一般的CT重建模型是求解第一类积分方程，属于近似解法，本题需要针对待重建介质几何形状为椭圆且吸收率为分片常数这种特殊性质，对成像模型和算法进行改进。也可以使用数学软件中的命令来完成，但此时可能会出现重构图像平移和旋转，应说明如何处理。重构图像为各椭圆介质的参数见表1。表1椭圆序号中心x坐标中心y坐标半轴长1半轴长2旋转角度吸收率10.63442.391621.681440.97234.99761.004424.541525.08575.58423.064730.00521.198733.935320.89467.249812.66791.99641.299149.784519.30765.448810.348143.99850512.579716.83754.46911.764329.9985061.98525.75871.82241.242660.00391.061610个特征点的吸收率见表2。表2序号12345吸收率01.004401.19871.0616序号678910吸收率1.49341.2991000问题3由于接收数据含有噪声，对在重建的基础上，加上抑制噪声的模型，应给予较好的评价。介质的吸收率在[1,9]之间，空气部分的吸收率小于0.1。重构图像为10个特征点的吸收率见表3。表3序号12345吸收率0.00632.56586.86980.00760.0185序号678910吸收率3.37936.20050.00258.2590.0071问题4这一问题是开放的，可以进行多方面的讨论：能够实现标定的条件（例如需要假设模板在各个角度下的投影值探测器都能接收到、所给的模板能够实现标定的原因、一个椭圆为什么不能等）；不同情况下的标定算法性能（最好和最坏的情况分析）；测量数据有噪声时对模型和算法的影响。对能够自行构造数据进行模型检验的论文，应给予较好的评价。