武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章系统的稳定性

第五章系统的稳定性本章主要教学内容5.1系统稳定性的初步概念5.2Routh(劳斯)稳定判据5.5系统的相对稳定性5.4Bode稳定判据5.3Nyquist稳定判据5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点5.1稳定性的基本概念本节教学内容5.1.1稳定性的定义5.1.2稳定的充要条件5.1.3稳定的必要条件本节教学要求1.了解系统稳定性的物理概念3.掌握用稳定的必要条件判断系统稳定性的方法2.熟悉系统稳定性的数学定义及充要条件5.系统的稳定性不稳定的现象5.1.1稳定性的定义5.1稳定性的基本概念稳定的摆不稳定的摆稳定临界稳定不稳定稳定性的定义——一个系统称之为稳定的，是指控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的平衡状态。5.1.1稳定性的定义稳定不稳定线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。以上定义只适用于线性定常系统。5.1.1稳定性的定义稳定性的其他说法——大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。说明：经典控制论中,临界稳定也视为不稳定。因为①分析时依赖的模型通常是简化或线性化的；②实际系统参数的时变特性；③系统必须具备一定的稳定裕量。稳定性条件的分析方法——脉冲响应法：假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t→∞时，若：则系统（渐近）稳定。0limotx5.1.2系统稳定的充要条件5.1稳定性的基本概念脉冲响应法分析5.1.2系统稳定的充要条件))j())(j(()()()()(......)()(11011101110jjjjkirjinnnnmmmmiosspsasBsAsBasasasabsbsbsbsXsX)sin()(110jrjdjjtkitpitAeectxji如果pi和i均为负值,当t时,x0(t)0。稳定性与零点无关.线性系统的脉冲响应线性系统稳定的充要条件自动控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根全部具有负实部，或闭环系统的极点全部在S平面左半部。系统不稳定为不稳定)系统临界稳定(工程上系统稳定0]Re[0]Re[,1,0]Re[iiissnis由已知条件知系统具有负实根或具有负实部的共轭复根，因此系统稳定。5.1.2系统稳定的充要条件举例——某单位反馈系统，其开环传递函数为)0,0()1()(TKTssKsG其闭环传递函数为：1)(1)()(2sTsKsGsGsGB系统特征方程和特征根为：TTKsKsTssD24110)(2,12系统稳定的必要条件是——系统特征方程各项系数具有相同的符号，且无零系数。5.1.3系统稳定的必要条件5.1稳定性的基本概念0...)(1110nnnnasasasasD设系统特征根为s1、s2、…、sn-1、sn，则)())((21001101nnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinnsssssssssssss12211121)1()()())((5.1.3系统稳定的必要条件niisaa1101)1(njijissaa,202)1(nkjikjisssaa,,303)1(各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积系统特征方程的全部根具有负实部则特征方程的系数必然同号（不妨设为均大于零）。niinnsaa10)1(niinnnjijijinniinnnnnsssssssaasaasssssss122111010121)1()()())((用待定系数法分析特征方程根与系数的关系)1(sTskmmsK0pK1K1T2T0HH__例某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。)1(sTskmmsK0：被控对象水箱的传递函数：执行电动机的传递函数K1：进水阀门的传递系数Kp：杠杆比H0：希望水位H：实际水位5.1.3系统稳定的必要条件5.1.3系统稳定的必要条件023KssTm系统闭环传递函数和特征方程K=KpkmK1K0为系统的开环放大系数该系统为三阶系统，但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。这种系统属于结构不稳定系统，无论怎样调整该系统的参数，如(K、Tm)，都不能使系统稳定，要使系统稳定，必须对系统进行校正。系统稳定性分析mpmmpBkKKKsTskKKKsG01201)1()(0)1(012KKkKsTsmpm5.2Routh（劳斯）稳定判据5.系统的稳定性本节教学内容5.2.1Routh行列式5.2.2Routh判据5.2.3Routh判据的特殊情况本节教学要求1.掌握利用Routh判据判断系统稳定性的方法2.了解特殊情况下Routh判据的运用牢斯(Routh)判据无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性，属于稳定性判断中的一种代数方法。5.2.1Routh行列式0...)(1110nnnnasasasasD列写Routh行列式，是利用Routh判据进行系统稳定性分析的主要工作，其步骤如下:①列写系统特征方程5311420aaasaaasnn②由系统特征方程的各项系数排成Routh行列表的前两行其中，第一行为sn、sn-2、sn-4的各项系数依次排成；第二行为sn-1、sn-3、sn-5的各项系数依次排成。10112123214321332125311420gsfseesdddscccsbbbsaaasaaasnnnnn计算Routh行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。③计算行列式的其余各行5.2.1Routh行列式113021aaaaab115042aaaaab112131bbbaac113152bbbaac112121cccbbd113132cccbbd例如6阶特征方程其牢斯行列式为0652433425160asasasasasasa5.2.1Routh行列式0000000000011121011212112113111212121112131511121313310612150411130214531564206fdddeseddccdsdcbbcdccbbcsbabcbbaabcbbaabsbaaaabaaaaabaaaaasaaasaaaas1)如果符号相同，说明系统具有正实部的特征根的个数等于零，系统稳定；2)如果符号不同，则符号改变的次数等于系统具有正实部的特征根的个数，系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件——牢斯行列式的第一列元素不改变符号！Routh判据——牢斯判据的实质是对Routh行列表中的“第一列”各数的符号进行判断：5.2.2Routh判据注：通常a00，因此，劳斯稳定判据可以简述为——劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。例1牢斯判据判定稳定性符号改变二次,系统有两个不稳定的特征根.5.2.2Routh判据5.2.2Routh判据例2牢斯判据判定稳定性KssssKsRsC)2)(1()()(2系统特征方程牢斯判据002-(9/7)Ks100Ks00K7/3s2023s3K31s4914007920KKK0233)(234KsssssD5.2.2Routh判据例3牢斯判据判定系统相对稳定性已知系统特征方程：s3+7s2+14s+8=0试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。[s](-1,j0)[z](s,j)(z,j)o’’oz=s+11sz0143408)1(14)1(7)1(2323zzzzzz系统特征方程为：将s平面虚轴左移一个单位距离，即构造一个z平面，则直线s=-1右侧的极点即为z平面右侧的极点。1402/1144310123zzzz劳斯行列表系统有两个特征根位于平行于虚轴的直线s=-1的右侧。5.2.2Routh判据例3牢斯判据判定系统相对稳定性已知系统特征方程：s3+7s2+14s+8=0试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。[s](-1,j0)[z](s,j)(z,j)o’’oz=s+11sz03408)1(14)1(7)1(2323zzzzzz：系统特征方程为将s平面虚轴左移一个单位距离，即构造一个z平面，则直线s=-1右侧的极点即为z平面右侧的极点。00304310123zzzz劳斯行列表系统有一个特征根位于（-1，j0）点。5.2.3Routh判据的特殊情况特殊情况1：第一列出现0第一列出现00233)(234sssssD(各项系数均为正数)2s023s2)(0s031s231s01234解决方法：用任意小正数代之。（因第一列符号改变两次，该系统不稳定。）特殊情况2：某一行元素均为006655)(2345ssssssD6s5/2s62/5s010040s651s651s012345(各项系数均为正数)解决方法：用全0行的上一行元素构成辅助方程,用对该方程求导后的方程系数替代全0行.求导得:06524ss010413ss例如：出现全0行5.2.3Routh判据的特殊情况2j2,1s3j4,3s15s还可由辅助方程求出相应的极点06524ss劳斯阵列出现全零行表明——系统在s平面有对称分布的根共轭虚根对称于虚轴的两对共轭复根对称于虚轴的一对实根5.2.3Routh判据的特殊情况5.2Routh(劳斯)稳定判据【习题5.5】图示系统,确定K、a取何值时,系统维持以=2s-1的持续振荡。12)1(23sasssK＋－Xi(s)Xo(s)1012121)1()2()1()(012323ksakkskasksKsKasssKsGB系统产生持续振荡，说明系统为临界稳定系统，则劳斯行列式的第一列会出现0元素。75.0,22j2j02)2)(()1()(22aKKsKsKsassKsGB)2(1012KaKaKK5.2Routh(劳斯)稳定判据课后作业教材185~186页：5.3，5.45.7(选做题)5.3Nyquist稳定判据5.系统的稳定性本节教学内容5.3.1幅角原理5.3.2Nyquist稳定判据5.3.3开环含有积分环节情况本节教学要求1.了解Nyquist判据的依据——幅角原理2.掌握Nyquist判据的使用方法3.熟悉开环含有积分环节时奈氏轨迹的绘制判断Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断系统特征方程1+G(s)H(s)=0的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。开环传递函数)()()()()(sDsMsHsGsGkkkH(s)G(s)Xi(s)Xo(s)Es+_Bs闭环传递函数)()()()()()()(1)()()(1)()(sDsMsDsMsDsGsGsGsH