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等腰三角形练习知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC，∠1=∠2∵AB=AC，AD⊥BC∵AB=AC，BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC∴∠1=∠2，BD=DC∴∠1=∠2，AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。知识点4：等腰三角形的推论1.推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。知识点5：等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。一、知识点回顾等腰三角形的性质：△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AB=AC，∴∠_____=∠______；（即性质1）（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C∴_____=_____．二、基础题第1题.已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．第2题.在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．5第3题.如图1，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）图1图2图3图4A．8+2aB．8+aC．6+aD．6+2a第4题.如图2，O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若BC=10cm，那么△ODE的周长为（）A．8cmB．9cmC．10cmD．11cmAOCBEDAQCPBPQMNGEDBC第5题.如图3，已知:P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．第6题.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．第7题.如图4，DE是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________．第8题.等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________．第9题.等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________．第10题.如图5，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______．图5图6第11题.如图6，,ABC是等腰三角形，D为BC上一点，DE∥AB且交AC于E，请判断△EDC是什么三角形?并说明理由．第12题.如图7，已知AE平分∠DAC，AE∥BC，那么AB=AC吗?请简要说明理由．图7图8图9第13题.如图8，PQ为Rt△MPN斜边上的高，∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个[来源第14题.等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（）A．9B．12C．15D．12或1第15题.如图9，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC内一点，∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（）A．115°B．100°C．130°D．140°第16题.下列命题正确的个数是（）①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个第17题.等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）A．42°B．60°C．36°D．46°第18题.等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°第19题.如图10，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12．5°C．15°D．20°图10图11图12第20题.如图11，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（）A．15°B．18°C．20°D．22.5°第21题.已知:如图12，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．第22题.如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．不等腰钝角三角形第23题.如下图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（）A．12B．10C．9D．8第24题.一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（）A．90°B．45°C．50°D．22.5°第25题.等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（）A．37cmB．29cmC．37cm或29cmD．无法确定第26题.△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．第27题.已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°，那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______，点C的对应点是_______．第28题.在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是_________第29题.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC边上的两点，且满足AD＝AE=BD=CE，则图中与∠B相等的角有________个角，分别是________________________．图中全等的三角形有___对，分别是_____________________________第30题.已知线段a，b（a2b），以a、b为边作等腰三角形，则（）A．只能作以a为底边的等腰三角形AFECDBACBEDDBAECDBACADECBOABCDEDABCADCBEACBEDPQMNPACBB．只能作以b为底边的等腰三角形C．可以作分别以a、b为底的等腰三角形D．不能作符合条件的等腰三角形第31题.如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是___________cm.第32题如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状二、解答题1．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证：BF=CF．2．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．3.如图,已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE4.如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC5.已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.7．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．EDCABFEDCABF21EDCABDCABEDCABHF8.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。9.如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.三、探究题1．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）2．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE=BE．3．如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明：AB=AC+CD．4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。EDCABFAD1BMCEEDCAB