等腰三角形的存在性问题

等腰三角形的存在性问题解题策略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题精讲1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．解析．因为D（3，4），所以OD＝5，3cos5DOP．①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OO．此时点P的坐标为25(,0)6．②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．解析．在Rt△ABC中，10862222BCABAC.因此4cos5ACB.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.①如图1，当CPCQ时，102tt，解得103t(秒).②如图2，当QPQC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝152PCt.在Rt△QMC中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t(秒).③如图3，当PCPQ时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝1122QCt.在Rt△PNC中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t(秒).综上所述，当t为秒秒、秒、2180925310时，△PQC为等腰三角形.3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．解析．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得0m或43m．所以符合条件的点P不存在．②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得25m．所以(425,0)P．③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得12m．所以(1,0)P．4．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析．（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC．所以点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232(6)a．解得36a．所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)．5．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1图2解析．（1）因为PC//DB，所以1CPPMMCBDDMMB．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．（2）在△APD中，22(4)ADm，224APm，222(2)44(2)PDPMm．①当AP＝AD时，2(4)m24m．解得32m（如图1）．②当PA＝PD时，24m244(2)m．解得43m（如图2）或4m（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，2(4)m244(2)m．解得23m（如图3）或2m（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PCMBCMBA．因此12PC，32m．②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42mm．解得43m．（3）点H所经过的路径长为54．思路是这样的：如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析．(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此DCEBCEBF，即8mxxy．整理，得y关于x的函数关系为218yxxmm．(2)如图1，当m＝8时，2211(4)288yxxx．因此当x＝4时，y取得最大值为2．(3)若12ym，那么21218xxmmm．整理，得28120xx．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y＝2代入12ym，得m＝6（如图2）；将x＝y＝6代入12ym，得m＝2（如图3）．第6题图1第6题图2第6题图37．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF//AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．解析．（1）4BEt，5(4)8EFt．（2）△DEF中，∠DEF＝∠C是确定的．①如图1，当DE＝DF时，DEEFABBC，即5(4)481016t．解得15625t．②如图2，当ED＝EF时，54(4)8t．解得125t．③如图3，当FD＝FE时，FEACDEBC，即5(4)108416t．解得0t，即D与B重合．第7题图1第7题图2第7题图3（3）MN是△FDE的中位线，MN//DE，MN＝2，MN扫过的形状是平行四边形．如图4，运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为3；如图5，运动开始，D与B重合，M到BC的距离为34．所以平行四边形的高为39344，面积为99242．第7题图4第7题图58．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝3，BC＝32，直线y＝323x经过点C，交y轴于点G．（1）点C、D的坐标分别是C（），D（）；（2）求顶点在直线y＝323x上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y＝323x平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解析．（1）(4,23)C，(1,23)D．（2）顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y＝323x，得32y．设抛物线的解析式为253()22yax，代入点(4,23)C，可得233a．所以物线的解析式为22353()322yx．（3）由顶点E在直线y＝323x上，可知点G的坐标为(0,23)，直线与y轴正半轴的夹角为30°，即∠EGF＝30°．设点E的坐标为(,323)mm，那么EG＝2m，平移后的抛物线为223()3233yxmm．所以点F的坐标为223(0,323)3mm．①如图1，当GE＝GF时，yF－yG＝GE＝2m，所以223323mmm．解得m＝0或332．m＝0时顶点E在y轴上，不符合题意．此时抛物线的解析式为223373(3)3322yx．②如图2，当EF＝EG时，FG＝23Ex，所以2233233mmm．解得m＝0或32．此时抛物线的解析式为22333()322yx．③当顶点E在y轴右侧时，∠FEG为钝角，因此不存在FE＝FG的情况．第8题图1第8题图29．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y．（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．备用图备用图解析．（1）当D为BC的中点时，AD⊥BC，DE⊥AC，CE83．（2）如图1，由于∠ADC＝∠ADE＋∠1，∠ADC＝∠B＋∠2，∠ADE＝∠B，所以∠1＝∠2．又因为AB＝AC，所以∠C＝∠B．所以△DCE∽△ABD．因此DCCEABBD，即86xyx．整理，得21463yxx．x的取值范围是0≤x≤8．（3）①如图1，当DA＝DE时，△DCE≌△ABD．因此DC＝AB，8－x＝6．解得x＝2．②如图2，当AD＝AE时，D与B重合，E与C重合，此时x＝0．③如图3，当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝∠B＝∠C，所以△DAC∽△ABC．因此8668x．解得72x．第9题图1第9题图2第9题图3