高斯积分点以及有限元中应用

高斯积分法高斯积分法在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。dddf111111),,(ddf1111),(高斯积分法数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。高斯积分法一、一维积分的高斯公式其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi处的数值，Hi为加数系数，n为积分点数目。对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。niiifHdf111)()(高斯积分法例如，n=1时不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H１=2，ξ1＝０，上式均是精确成立的。因为)()(1111fHdfI10)(CCf101()22(0)IfdCf高斯积分法当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为其精确积分为数值积分为332210)(CCCCf2011322)(CCdfI)()()()()(323222102313212101221121CCCCHCCCCHfHfHfHIiii高斯积分法为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有所以，应取221HH02211HH32222211HH0322311HH2,269,350,577.031210,000,000,000.121HH，，高斯积分法n个插值结点非等距分布结点和积分权系数可以查表111())(niiiAfdf高斯积分法二维积分的高斯公式以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维重积分的数值时，可以先对ξ、η进行积分，或改写成这就是二维的高斯积分公式。ddf1111),()(),(),(111niiifHdfmjjjHd111)()(mjnijiijfHHddf111111),(),(nimjjijifHHddf111111),(),(高斯积分法三维积分的高斯公式同样，可以求得三维高斯积分公式：中的n，m，l是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值nimjlkkjikjifHHHdddf111111111),,(),,(ninjjijifHHddf111111),(),(ninjnkkjikjifHHHdddf111111111),,(),,(高斯积分法由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高斯求积公式求得的积分值是完全精确的。反过来，对于m次多项式的被积函数，为了积分值完全精确，积分点的数目必须取。高斯积分法高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量。积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全精确积分）很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分更好的精度。（减缩积分）线性单元完全精确积分二次单元减缩积分有限元分析主要步骤我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有限元方程如下{F}=[K]{U}其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵；{U}---节点位移向量在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一组解，它是最精确的。得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先在积分点上获得的。有限元分析主要步骤所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在单元内分布一些高斯点这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应变，其方法如下：在高斯积分点上，依据几何方程:{ε}={B}{U}计算出高斯积分点上的应变:ε然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积分点的应力。:{σ}={D}{B}{U}有限元分析主要步骤可见，在应变和应力计算方面，高斯积分点的应变和应力是最最准确的。利用特定单元的形函数以及高斯点的应力，应变值，将这些值外推到该单元的节点上，就得到了单元上节点的应力应变值。显然，不同的单元会共用一些节点，而从不同单元内的积分点外推到这些公共节点的应变值和应力值一般不相同,将一个公共节点的多个应力进行平均，以代表该节点的应力值。有限元分析主要步骤总之，求解节点应力的步骤是：（1）根据总体方程，得到节点的位移解。（2）根据几何方程，得到单元高斯点的应变解。（3）根据物理方程，得到单元高斯点的应力解。（4）在某一个单元内，基于形函数，将高斯点的应力外推到该单元的所有节点。（5）对于某一个公共节点，将该节点关联的所有单元所推出的该节点的应力解进行平均，最终得到该节点的应力解。积分点与节点的关系我们需要对应变在单元内的面积上进行积分时，因为节点的应力、位移显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。采用Gauss-Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。