4-有限元插值函数形函数和单元构造

有限元法原理及应用FiniteElementMethodandItsApplicationsInstituteofMechanicalEngineeringandAutomationIMEAHsiangJiawei,PhDSchoolofMechantronicEngineering,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin,541004,P.R.C.Tel:[phone]E-mail:[e-mail]桂林电子科技大学机电工程学院机械工程及自动化所2019/10/524有限元插值函数/形函数和单元构造第3节Hermite插值第2节Lagrange插值InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第1节概述第4节单元收敛条件第6节小结第5节各种单元简介2019/10/53第1节概述有限元理论核心技术在于单元构造，即推导单元求解方程/单元列式。上一章以两种区间B样条小波单元为例，详细推导了其求解方程。但是，并没有涉及到有限元插值函数/形函数的构造。这一过程目的在于将未知场函数表示为插值函数的形式，然后利用节点条件，将插值函数插值系数表示成未知场函数的节点值，得到有限元空间中有限元插值函数/形函数。如果将有限元插值函数代入具体问题的能量泛函/势能泛函，或者微分方程中，由最小位能/势能原理或其他变分原理，最终得到有限元求解方程，该方程中未知量就是未知场函数的节点值。插值函数构造方法分为Lagrange型和Hermite型，分别对应C0和C1型单元。Lagrange型单元构造和实现相对简单，而Hermite型单元构造对某些问题十分复杂，甚至几乎无法实现。因此，对大型工程应用软件中3D单元常采用Lagrange型。[概述]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation2019/10/54第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation图1为一轴向受拉的直杆，截面积Ａ和轴向分布载荷f可以是x的函数。因而轴向位移u(x)可能是x的复杂函数。将区间[0,L]分成若干（这里是三个）子区间（单元），编号为①～③。取端点和分点为结点，编号为1～4。坐标为x1～x4。(1)基函数定义基函数φ1～φ4。满足以下条件：ijjix)(1当j=i0当j≠i(i)(ii)设基函数在单元内是x的一次函数。2019/10/55第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationφ1x10φ3x10φ2x100φ4x1ux0u2u3u4u10u’x图1x③3②2①14(2)试探函数/未知场函数的形式取为基函数的线性组合，即：41)(iiiuxu根据φi的定义显然有：u(x)是x的分段线性函数，且u(xi)=ui系数ui恰好代表结点i的位移值，相互之间是独立的。iiuxu)(2019/10/56第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation这样分段（片）定义的试探函数的一个显著优点是：强制边界条件很容易得到满足。例如u(0)=0的条件只要简单地令结点１的位移u1=0即可以实现。而且允许我们在任何方便的时候（例如组装总体刚度矩阵时）引入这些边界条件。由于强制边界条件问题已经有了妥善的解决办法，我们的注意力将转向协调条件和可微性问题。(3)协调性和可微性（i）φi(x)和u(x)在单元内连续，在结点处也连续；（ii）φi’(x)和u’(x)在单元内连续，在结点处可能不连续。但只有有限的跳跃量。在区间[0,L]上平方可积。φi(x)和u(x)属于同一类型的函数。对于轴向受拉杆（二阶问题），u(x)满足最小势能原理对协调性和可微性的要求。2019/10/57第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation由,02uP,03uP04uP01u和可求得u１、u２、u３、u４的值，从而得到一个近似解。(4)Lagrange插值φi(x)、u(x)都涉及这样一个问题：由两个结点上的函数值在单元内确定一个线性变化的函数。图示为一个一般性的单元，两个结点i、j的坐标为xi、xj，假定单元内u(x)是x的线性函数。最小势能原理强制边界条件2019/10/58第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation定出α1、α2，可得到uNjuiujx0x,uxixjijNixixj1xxixjui1xxixj图xxu21)(由,)(iiuxujjuxu)(jjiijijiijijuxNuxNuxxxxuxxxxxu)()()(其中Ni、Nj称为形函数，它们在单元内是x的线性函数，且满足1)(iixN0)(ijxN1)(jjxN0)(jixN2019/10/59第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationLagrange型插值形函数的特点：每个形函数由分子和分母两部分组成，分子保证了一个结点的形函数在其他结点处为０，而分母的选择则恰好使得这个形函数在自己的结点个取值为１。掌握了这些特点就可用“凑”的方法得到形函数的表达式。例如：如图所示，如果在每个单元内再增设一个结点l就可以假定在每个单元内u(x)是x的二次函数。形函数也是x的二次函数。若结点为i、j、l，则可以用“凑”的方法得出各形函数：2019/10/510第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation例如：如图所示，如果在每个单元内再增设一个结点l就可以假定在每个单元内u(x)是x的二次函数。形函数也是x的二次函数。若结点为i、j、l，则可以用“凑”的方法得出各形函数：uNluiujx0xlxixj1Nixixj1xxixj1xxixj图x0Nj0xlxlul0jliljiljijiljlijiljixxxxxxxxxNxxxxxxxxxNxxxxxxxxxNl)()()(2019/10/511第2节Lagrange型插值[一维Lagrange插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation试探函数/未知场函数可表示为：lljjiiuNuNuNxu)(如果试探函数/未知场函数是位移，则该式表示的是位移元的位移模式/位移列式。从以上分析可知：Lagrange插值涵义在于用插值点的函数值构造的插值函数。2019/10/512第3节Hermite型插值[一维Hermite插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation图示为一根梁，横向载荷q和截面惯性矩I可以是x的函数。因而挠度v是x的复杂函数。梁的弯曲是四阶问题，试探函数v及v’应在[0,L]上连续。将[0,L]分为若干（这里仍是三个）子区间（单元），编号为①～③。取端点和分点为结点，编号为1～4。xx③3②2①14vφ1x1ψ1x1radψ21rad1radψ4x1radψ3xφ2x1φ3x11φ4x2019/10/513第3节Hermite型插值[一维Hermite插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation（１）基函数定义基函数φ1(x)～φ4(x)、ψ1（x）～ψ4(x)满足(i)φi(x)、ψj（x）在单元内是x的三次函数(ii)ijjix)(1当j=i0当j≠iijjix)(0)(jix0)(jix1当j=i0当j≠i(2)试探函数iiiiiivvxv4141)(2019/10/514第3节Hermite型插值[一维Hermite插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation根据φi、ψi的定义可知，v(x)是x的分段三次函数，且满足iiiivxvvxv)()(系数vi、vi’恰为结点处v、v’之值。这些值相互之间是独立的。这样定义的试探函数保证了v、v’在单元内连续，在结点处也连续，满足四阶问题所要求的协调条件。由于试探函数是分段定义的强制边界条件v(0)=v’(0)=0可以简单地令v1(0)=v1’(0)=0得以实现。（３）可微性2019/10/515第3节Hermite型插值[一维Hermite插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationφi(x)、ψi(x)和v(x)是分段定义的三次函数，函数本身及一阶导数在[0,L]上连续。二阶导数是分段线性函数，在结点处不连续，但只有有限跳跃量，在[0,L]上平方可积。满足最小势能原理对试探函数可微性的要求。如下图所示。vv’1xv1v2v3v4v’2v’3v’4v’’x2019/10/516第3节Hermite型插值[一维Hermite插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation（４）Hermite插值定义φi(x)、ψi(x)和v(x)都涉及这样一个问题：由函数及一阶导数在结点处的值确定单元内的一个三次函数。左图为一个一般性单元。它的长度为L,结点为i、j。i为局部坐标原点,ξ与x平行。设梁的挠度函数(试探函数)为hihjHiHjiiijixjjjxxx11rad1rad1342321)(v243232)(v以结点坐标ξi=0、ξj=L代入则有2019/10/517第3节Hermite型插值[一维Hermite插值]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation24323423212132LLvLLLvvvjjii定出4个常数代入挠度函数并整理成iiiiiivHvhv2121)(即jjjiiiiijjiivxHvxhvxHvxhvLLvLLvLLvLLLv)()()()(232)(22322232hi、Hi、hj、Hj的图形已示于图中。显然基函数的非零部分正是由它们拼成的。这种用插值点的函数值及导数值构造的插值函数通常称为hermite插值。2019/10/518第4节单元收敛性条件[单元收敛性条件]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation一般说来，用分片插值形式定义的试探函数很难做到与问题本身的真实解（精确解）完全吻合，因而有限元解一般都是近似解。我们希望在网格逐步加密、单元尺度无限变小时有限元解能收敛到真实解。为了保证收敛性，各单元内假定的位移场（试探函数）应满足以下条件（１）假定的位移场在单元内连续。这是最小势能原理所要求的，也是很容易做到的。（２）能够描述任何一种常应变状态（常曲率）。归纳出这一条件的理由是：当单元无限细分时，真实解在每个单元内都将接近某种常应变状态。如果有限元解能够无限接近总势能的真实最小值，随之也就逼近了真实解。满足这一条件的另一个好处是，如果真实解在整