第7章-小波变换和多分辨率处理

小波和多分辨率处理辛明琴DigitalImageProcessing,3nded.1•2015/12/22小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。本章将从多分辨率的角度解释小波变换。介绍图像编码，噪声去除和边缘提取等一些应用实例。2小波变换和傅里叶变换的区别傅里叶展开函数是频率变化及持续时间无限的正弦波；小波变换的展开函数是持续时间有限及频率变化的小波。3主要内容背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包47.1背景Background从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像边界和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产生统计值的局部变化。如图7.1所示。图7.1一幅自然图像和它的局部直方图变化57.1.1图像金字塔图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构。图7.2(a)一个金字塔图像结构67.1.1图像金字塔金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。图7.2(a)一个金字塔图像结构77.1.1图像金字塔近似金字塔和预测残差金字塔如图7.2(b)框图所表明的，近似值和预测残差金字塔都是以一种迭代的方式进行计算。图7.2(b)建立金字塔的方框图87.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：1.计算第j级输入图像降低的分辨率近似值。通过对输入进行滤波并以2为因数进行下采样实现。图7.2(b)建立金字塔的方框图97.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：2.由步骤1产生的降低分辨率近似创建第j级输入图像的一个估计。这通过对产生的近似与第j级图像进行上采样和滤波来完成。得到的预测图像与第j级输入图像的维数相同7.1背景Background图7.2(b)建立金字塔的方框图107.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：3.计算步骤2的预测图像和步骤1的输入之间的差异。把得到的结果放在预测残差金字塔的第j级。图7.2(b)建立金字塔的方框图117.1.1图像金字塔例7.1高斯和拉普拉斯金字塔图7.3两种图像金字塔及直方图（a）近似金字塔（b）预测残差金字塔127.1.2子带编码子带编码是另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列频带受限的分量，称为子带。子带可以重组在一起无失真地重建原始图像。每个子带通过对输入图像进行带通滤波而得到。137.1.2子带编码图7.6(a)显示了两段子带编译码系统的基本部分。图7.6（a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，（b）频谱分离特性14目的：选择滤波器，以便子带编码和解码系统的输入和输出是相同的。最终采用了完美重建滤波器。157.1.2子带编码7.1.2子带编码一维滤波器也可用于图像处理的二维可分离滤波器。如图7.7所示。可分离滤波器首先应用于某一维(如垂直向)，再应用于另一维(如水平向)。167.1.2子带编码例7.2图7.1中花瓶的4频段子带编码图7.9显示图7.1中花瓶的512×512图像基于图7.6滤波器的4频段分离（a）近似子带（b）水平细节子带（c）垂直细节子带（d）对角线细节子带177.1.3哈尔变换哈尔变换(Haar)是与多分辨率分析有关的图像处理手段之一。哈尔变换可以用下述矩阵形式表达：T=HFHT其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果。(7.1.15)187.1.3哈尔变换哈尔变换的变换矩阵H包含哈尔基函数hk(z)，它们定义在连续闭区间z∈[0,1]，k=0,1,2…,N-1，这里N=2n。为生成H矩阵，定义整数k，即k=2p+q-1(这里0≤p≤n-1,p=0时，q=0或1，p≠0时，0≤q≤2p)。可得哈尔基函数为：]1,0[1)()(000zNzhzh(7.1.16)197.1.3哈尔变换且]1,0[,02/)/25.0(22/)5.0()/21(21)()(22zotherwiseqzq-qzq-Nzhzhpppppppqk(7.1.17)N×N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素hi(z)，其中z=0/N，1/N，2/N，…，(N-1)/N。207.1.3哈尔变换例如，N=4时，k，q和p值如下：2200002211121111414H(7.1.19)4×4哈尔变换矩阵H4kpq012300110112217.1.3哈尔变换2×2哈尔变换矩阵H41111212H(7.1.18)它的基函数仅定义了2抽头完美重建滤波器组的分析滤波器h0(n)和h1(n)。227.1.3哈尔变换例7.3离散小波变换的哈尔函数（a）用H2哈尔基函数的离散小波变换（b）~（d）由（a）得到的几种不同的近似（64*64,128*128,256*256）237.2多分辨率展开在多分辨率分析(MRA)中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差2倍。被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。247.2.1级数展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合(7.2.1)(7.2.2)(7.2.3)展开集合的闭合跨度，表示为：)}({anSpxVkkkkkxxf)()(xxfxxfxkkkd)()(~)(),(~*257.2.1级数展开由于展开集合的正交性，该计算可以是3种可能形式中的一种。情况1：如果该展开函数构成了V的一个正交基，即：(7.2.4)(7.2.5)基与它的对偶相等。即：kjkjxxjkkj10)(),()(~)(xxkk)(),(xfxkk267.2.1级数展开情况2：如果该展开函数本身不正交，而是V的正交基，则：(7.2.6)(7.2.7)kjxxkj0)(),(kjkjxxjkkj10)(~),(基函数及其对偶称为双正交。使用式(7.2.3)计算，有：k277.2.1级数展开)()(),(1)(xxfxAxfkkk222||)(|||)(),(|||)(||xfBxfxxfAkk情况3：如果展开集合对V来说不是函数基，但支持式(7.2.1)中定义的展开，那么它是一个跨度集合，对于任一f(x)∈V有一个以上αk集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们组成了一个框架，其中：(7.2.8)(7.2.9)对于某些A0，B∞，及所有f(x)∈V。若A=B287.2.2尺度函数)2(2)(2/,kxxjjkj)}({,xkj由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数组成的展开函数集合，即集合(7.2.10)其中，)(x都成立。和对于)()(2RZLxj,k称作尺度函数。发生变化，故的形状随由于)()(xjxj,k29kkjkxxf)()(,0)}({anSp,00xVkjkj上的一个跨度。在是即kxVkjj)(,00，则如果0)(jVxf)}({anSp,xVkjkj)}({,0xkj7.2.2尺度函数设j=j0，展开集合(7.2.11)(7.2.12)该子空间定义为：)(,xkj将是的子集更一般的情况下，定义下式代表对任何j,k上的跨度子空间：(7.2.13)307.2.2尺度函数考虑单位高度、单位宽度的尺度函数otherwisexx0101)((7.2.14)317.2.2尺度函数简单的尺度函数遵循了多分辨率分析的4个基本要求：MRA要求1：尺度函数对其积分变换是正交的在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要尺度函数的值是1，其积分变换就是0，所以二者的乘积是0。哈尔函数是紧支撑的，即，除被称为支撑区的有限区间外，函数值都为0。事实上，其支撑区是1，半开区间[0,1)外的支撑区的值是0。必须注意，当尺度函数的支撑区大于1时。积分变换正交的要求将很难满足。327.2.2尺度函数MRA要求2：低尺度的尺度函数跨越的子空间嵌套在高尺度跨越的子空间内。如图7.12所示，包含高分辨率函数的子空间必须同时包含所有低分辨率函数。也就是说，jV图7.12由尺度函数跨越的嵌套函数VVVVVV2101子空间还满足直观条件，即，如果f(x)∈Vj,，那么f(2x)∈Vj+1。哈尔尺度函数满足该要求并不意味着任何支撑区为1的函数都自动满足该条件。(7.2.15)337.2.2尺度函数MRA要求3：惟一包含在所有Vj中的函数是f(x)=0。如果考虑可能的最粗糙的展开函数(即j=-∞)，惟一可表达的函数就是没有信息的函数，即，}0{V(7.2.16)347.2.2尺度函数MRA要求4：任何函数都可以以任意精度表示。虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定f(x)是几乎不可能的，像图7.11(e)中所示的函数一样，但所有可度量的、平方可积函数都可以用极限j→∞表示，即，)}({2RLV在这些条件下，子空间Vj的展开函数可以被表述为子空间Vj+1的展开函数的加权和。35(7.2.17)7.2.2尺度函数使用式(7.2.12)，令nnxnhx)2(2)()(任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨率的空间中得到。参考子空间V0的选择是任意的。njjkjnxnhx)2(2)()(12/)1(,nnjnkjxx)()(,1,(7.2.18)367.2.3小波函数给定满足上述MRA要求的尺度函数，能够定义小波函数(与它的积分变换及其二值尺度)，跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差。图7.13说明了这种情况。图7.13尺度函数与小波函数空间之间的关系)2(2)(2/,kxxjjkj(7.2.19)377.2.3小波函数使用尺度函数，可得：kkjkxxf)()(,jjjWVV1)}({anSp,xWkjkj(7.2.20)(7.2.21)(7.2.22)0)(),(,.xxljkj(7.2.23)如果f(x)∈Wj，尺度和图7.13中的小波函数子空间由下式相关联：387.2.3小波函数将所有可度量的、平方可积函数空间表示如下：12000)(jjjWWVLR1002)(WWVRL(7.2.24)(7.2.25)(7.2.26)(7.2.27)上式中不出现尺度函数，函数仅用小波项进行表示。注意，如果f(x)是V1而不是V0的元素，使用式(7.2.24)的展开式包含f(x)使用V0尺度函数的近似;来自W0的小波将对近似与真实函数之间的差异进行编码。由式(7.2.24)到式(7.2.26)可得：2112)(WWVRL20122)(小波函数因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中(见图7.13)，任何小波函数（类似式(7.2.18)中其尺度函数的对应部分）可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和。可以写成：(7.2.29)(7.2.28))1()1()(nhnhnnnxnhx)2(2)()(407.2.3小波函数例7.6哈尔小波函数系数0W1W0W哈尔小波函数为otherwisexxx015.015.001)((7.2.30)417.3一维小波变换小波序列展开、离散小波变换和连续小波变换在傅里叶域的对应部分分别是傅里叶序列展开、离散傅里叶变换和连续傅里叶变换。427.3.1小波级数展开定义小波序列展开0,,00)()()()()(jjkkjjkkjjxkdxkcxf(7.3.1)展开系数计算如下：xxxfxxfkckjkjjd)()()(),()(,,000xxxfxxfkdkjkjjd)()()(),()(,,(7.3.2)(7.3.3)437.3.1