2012年辽宁高考数学文科试卷(带答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知向量a=(1,1)，b=(2,x).若ab=1,则x=()A.1B.12C.12D.1【测量目标】平面向量的数量积与向量的坐标运算.【考查方式】给出含未知数向量的坐标表示和数量积，求未知数的值.【参考答案】D【试题解析】21,1xxab.（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则UUAB痧()A.{5，8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出集合，根据补集与交集的运算求解.【参考答案】B【试题解析】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝(步骤1)所以2,4,6,7,9,0,1,3,7,9UUAB痧.(步骤2)所以()()UUAB痧={7,9}.（步骤3）（3）复数11i（）A.11i22B.11i22C.1iD.1i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的代数形式，通过复数的四则运算化简求解.【参考答案】A【试题解析】11i1i1i1i(1i)(1i)222.（4）在等差数列{}na中，已知4816aa，则210aa()A.12B.16C.20D.24【测量目标】等差数列的通项公式，等差数列的性质.【考查方式】通过给出数列中两项之和，运用等差中项求解.【参考答案】B【试题解析】48111(3)(7)210,aaadadad21011121048()(9)210,16aaadadadaaaa.（5）已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是()A.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0B.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)0D.x1，x2R，(f(x2)f(x1))+(x2x1)0【测量目标】命题的否定以及全称命题和特称命题.【考查方式】给出一个命题，通过判断命题类型，得出命题的否定.【参考答案】C【试题解析】命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又(f(x2)f(x1))(x2x1)…0否定为(f(x2)f(x1))(x2x1)0.（6）已知sincos2，(0，π)，则sin2=()A.1B.22C.22D.1【测量目标】三角函数的二倍角公式，同角三角函数的基本关系式.【考查方式】给出一个三角函数式，根据同角三角函数的基本关系式求解二倍角.【参考答案】A【试题解析】2sincos2,(sincos)2,sin21.（7）将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出圆的一般方程，转化成圆的标准形式,求通过圆心的直线方程.【参考答案】C【试题解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心.（8）函数y=12x2lnx的单调递减区间为()A.（1,1]B.（0,1]C.[1，+∞）D.（0，+∞）【测量目标】利用导数判断函数的单调区间.【考查方式】给出函数运用求导公式得出导函数，再根据导函数的性质求解单调区间.【参考答案】B【试题解析】211ln,,02yxxyxyx由≤，.解得0,01xxx„-1≤≤1,又（9）设变量x，y满足10,020,015,xyxyy„剟剟则2x+3y的最大值为()A.20B.35C.45D.55【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出不等式组，根据目标函数找到最优解求出最值.【参考答案】D【试题解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大，最大值为55.（10）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是()第九题图A.4B.32C.23D.1【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序图，根据程序的算法求S.【参考答案】D【试题解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3SiSiSi3,4;4,5;1,6.2SiSiSi（11）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45【测量目标】函数模型的应用，几何概型.【考查方式】建立函数模型，利用矩形面积得到不等式，最后通过几何概型的运算得出概率.【参考答案】C【试题解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为(12)xxcm2.（步骤1）由(12)20xx，解得210x.又012x.(步骤2)所以该矩形面积小于32cm2的概率为23.（步骤3）（12）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A.1B.3C.4D.8【测量目标】导数在实际问题中的应用.【考查方式】通过给出抛物线方程，代入得到两点的纵坐标，通过求导公式得出切线方程的斜率，联立方程组求交点.【参考答案】C【试题解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2（步骤1）.由22,xy则21,,2yxyx所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为48,22.yxyx（步骤2）联立方程组解得1,4,xy故点A的纵坐标为4.(步骤3)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】观察给出三视图，直接利用相应几何体的体积公式求出体积.【参考答案】12+π【试题解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高为1，所以该几何体的体积为341π11112π.（14）已知等比数列｛an｝为递增数列.若a10,且2（an+an+2）=5an+1,则数列｛an｝的公比q=_____________________.【测量目标】等比数列的通项公式.【考查方式】给出等比数列递推关系式，运用通项公式进行转化，求解q.【参考答案】2【试题解析】22212()5,2(1)5,2(1)5,nnnnnaaaaqaqqq,解得2q或12q因为数列为递增数列，且10,a所以1,2.qq（15）已知双曲线x2y2=1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2,则∣PF1∣+∣PF2∣的值为___________________.【测量目标】直线与双曲线的位置关系.【考查方式】给出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义得到线段之间的关系式，通过运算求解动点到两定点的距离之和.【参考答案】23【试题解析】由双曲线的方程可知121,2,22,acPFPFa22112224PFPFPFPF（步骤1）222121212,(2)8,24PFPFPFPFcPFPF（步骤2）21212()8412,23.PFPFPFPF（步骤3）（16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB的面积为_____________【测量目标】柱、锥、台、球的表面积.【考查方式】利用空间想象建立模型，将问题带到模型中去求面积.【参考答案】33【试题解析】点PABCD、、、、为O内接长方体的顶点，球心O为该长方体对角线的中点，OAB△的面积是该长方体对角面面积的14,23,266ABPAPB，，OAB△的面积123633.4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）(本小题满分12分)在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列.(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinsinAC的值.【测量目标】三角形的正弦定理、余弦定理、及等差、等比数列的性质.【考查方式】给出三角形的内角之间的关系，求解B的余弦值.【试题解析】解:(Ⅰ)有已知2,180BACABC，解得60B,所以1cos2B.（步骤1）……6分(Ⅱ)(解法一)由已知2,bac以及1cos,2B根据正弦定理得到223sinsinsin,sinsin=1cos.4BACACB（步骤2）……12分（解法二）由已知2,bac及1cos,2B根据余弦定理得22cos,2acacBac解得ac，所以B=A=C=60，故3sinsin=.4AC（步骤3）……12分（18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCABC，90BAC，2,ABACAA=1，点M，N分别为AB和BC的中点.(Ⅰ)证明：MN∥平面AACC;(Ⅱ)求三棱锥AMNC的体积.（锥体体积公式V=13Sh,其中S为地面面积，h为高）【测量目标】空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算.【考查方式】以三棱柱为载体，考查线面平行和锥体的体积.【试题解析】(Ⅰ)解：(证法一)连结AB,AC,由已知90,BACAB=AC,三棱柱ABCABC为直三棱柱.所以MNAC∥,MN平面AACCAC平面,AACC因此MN∥平面AACC.（步骤1）……6分（证法二）取AB中点P，连结MP、NP.由于M、N分别为ABBC与的中点，所以,MPAAPNAC∥、∥所以MP∥平面AACC,PN∥平面AACC,又,MPNPP因此平面MPN∥平面AACC.由于MN平面MPN因此MN∥平面AACC.……6分(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意,ANBC⊥平面ABC平面BBCCBC所以AN⊥平面NBC.又112ANBC，故111.226AMNCNAMCNABCANBCVVVV（步骤3）……12分（解法二）11.26AMNCANBCMNBCANBCVVVV（步骤4）……12分（19）(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附22112212211212(),nnnnnnnnn2(Pk）…0.050.01k3.8416.635【测量目标】统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型.【考查方式