rc滤波详解

第十二章网络函数和频率特性前两章讨论了正弦激励频率为给定值时，动态电路的正弦稳态响应。本章讨论正弦激励频率变化时，动态电路的特性——频率特性。为此，先介绍在正弦稳态条件下的网络函数。然后利用网络函数研究几种典型RC电路的频率特性。最后介绍谐振电路及其频率特性。动态电路的频率特性在电子和通信工程中得到了广泛应用，常用来实现滤波、选频、移相等功能。§12－1网络函数一、网络函数的定义和分类)112()j(－输入相量输出相量H输入(激励)是独立电压源或独立电流源，输出(响应)是感兴趣的某个电压或电流。动态电路在频率为ω的单一正弦激励下，正弦稳态响应(输出)相量与激励(输入)相量之比，称为正弦稳态的网络函数，记为H(jω)，即和称为驱动点阻抗。11/IU22/IU若输入和输出属于同一端口，称为驱动点函数，或策动点函数。以图示双口网络为例和称为驱动点导纳。11/UI22/UI若输入和输出属于不同端口时，称为转移函数。12/IU和称为转移阻抗。21/IU和称为转移导纳。21/UI12/UI和称为转移电压比。12/UU21/UU和称为转移电流比。21/II12/II图12-1二、网络函数的计算方法输入相量输出相量)j(H正弦稳态电路的网络函数是以ω为变量的两个多项式之比，它取决于网络的结构和参数，与输入的量值无关。在已知网络相量模型的条件下，计算网络函数的基本方法是外加电源法：在输入端外加一个电压源或电流源，用正弦稳态分析的任一种方法求输出相量的表达式，然后将输出相量与输入相量相比，求得相应的网络函数。对于二端元件组成的阻抗串并联网络，也可用阻抗串并联公式计算驱动点阻抗和导纳，用分压、分流公式计算转移函数。例12-l试求图12-2(a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗和转移阻抗。11/IU12/IU图12-2解：首先画出网络的相量模型，如图12-2(b)所示。用阻抗串并联公式求得驱动点阻抗2222112j3j1j12j1j1CRCRCCRCRCRRCIU212122j1jj12IRCCRCRIRRU然后求得RCCRIU2j1j212读者注意到网络函数式中，频率ω是作为一个变量出现在函数式中的。为求转移阻抗，可外加电流源，用分流公式先求出的表达式2U1I12/IU图12-2解：先画出相量模型，如图(b)所示。外加电压源，列出结点方程：1U0j1)j(jj222Cm12CUCRUCgRUUCUCR解得)212(j4j2jm22m12gCRCRCRCRRgUU22例12-2试求图12-3(a)所示网络的转移电压比。12/UU图12-3)312()(|)j(|)j(12HUUH其中)512()()412()j(1212UUH三、利用网络函数计算输出电压电流网络函数H(j)是输出相量与输入相量之比，H(j)反映输出正弦波振幅及相位与输入正弦波振幅及相位间的关系。在已知网络函数的条件下，给定任一频率的输入正弦波，即可直接求得输出正弦波。例如已知某电路的转移电压比式(12－4)表明输出电压u2(t)的幅度为输入电压u1(t)幅度的|H(j)|倍，即12|)(|UjHU式(12－5)表明输出电压u2(t)的相位比输入电压u1(t)的相位超前()，即)(12若已知u1(t)=U1mcos(t+1)，则由u1(t)引起的响应为)612()](cos[|)j(|)(1m12tUHtu对于其它网络函数，也可得到类似的结果。当电路的输入是一个非正弦波形时，可以利用网络函数计算每个谐波分量的瞬时值，再用叠加方法求得输出电压或电流的波形。例12-3电路如图12-3所示。已知,若：(1)=103rad/s,(2)=104rad/s，试求输出电压u2(t)。mS2μF,1,k1,V)10cos(210)(m1gCRωttu36312102j10210j2)(j2UUH解：该电路的转移电压比如式(12-2)所示。代入R、C、gm之值得到图12-3(1)=103rad/s时9.3612j11j2)(j12UUH由式(12－6)求得V)9.2610cos(210V)9.361010cos(2101)](cos[|)j(|)(331m12tttUHtu(2)=104rad/s时8.89102.020j9810j2)(j12UUH由式(12－6)求得V)8.7910cos(21.02V)8.891010cos(210102.0)](cos[|)j(|)(441m12tttUHtu实际电路的网络函数，可以用实验方法求得。将正弦波信号发生器接到被测网络的输入端，用一台双踪示波器同时观测输出和输入正弦波。从输出和输入波形幅度之比可求得求得转移电压比的|H(j)|。从输出和输入波形的相位差可求得()。改变信号发生器的频率，求得各种频率下的网络函数H(j)，就知道该网络的频率特性。四、网络函数的频率特性)(|)j(|)j(HH一般来说，网络函数的振幅|H(j)|和相位()是频率的函数。可以用振幅或相位作纵坐标，画出以频率为横坐标的幅频特性曲线和相频特性曲线。由幅频和相频特性曲线，可直观地看出网络对不同频率正弦波呈现出的不同特性，在电子和通信工程中被广泛采用。网络函数是一个复数，用极坐标形式表为图12-3图12－3电路的幅频和相频特性曲线如图(a)和(b)所示。图12-4图12-4这些曲线的横坐标是用对数尺度绘制的。由幅频特性曲线可看出，该网络对频率较高的正弦信号有较大的衰减，而频率较低的正弦信号却能顺利通过，这种特性称为低通滤波特性。由相频特性可看出，该网络对输入正弦信号有移相作用，移相范围为0°到-90°。AC2可以画频率特性曲线。利用不同网络的幅频特性曲线，可以设计出各种频率滤波器。图12－5分别表示常用的低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器的理想幅频特性曲线。图12-5几种理想频率滤波器的特性根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。名称时间名称时间1RC低通滤波电路1:592RC高通滤波电路2:023RC滤波电路3:494RL滤波电路2:485二阶RC滤波电路3:136带阻滤波电路实验2:517RC带阻滤波电路3:438RC选频振荡器3:089整流波形的滤波2:0110RC低通滤波实验2:4511半波整流和滤波2:3112全波整流和滤波3:1213谐振电路谐振频率的测量2:5114谐振电路品质因素的测量2:5215串联谐振电路实验5:5016高频Q表3:1917高频Q表测电感3:0018高频Q表测电容3:2319线圈的电路模型2:5620谐振电路的频率特性曲线3:3621同轴电缆特性阻抗的测量4:36郁金香§12－2RC电路的频率特性一、一阶RC低通滤波电路)712(j11j1j1)j(12RCCRCUUH令11CRCω图12-6(a)图12－6(a)所示RC串联电路，其负载端开路时电容电压对输入电压的转移电压比为将上式改写为其中)812()(|)j(|j11)j(ωθωHωωωHC)1012(arctan)()912(11)j(2CCωωωθωωωH图12-6根据式(12－9)和(12－10)画出的幅频和相频特性曲线，如图12-6(b)和(c)所示。曲线表明图12-6(a)电路具有低通滤波特性和移相特性，相移范围为0°到-90°。A0.010.1.7071210100100020lgA/dB-40-20-3.006.0204060电子和通信工程中所使用信号的频率动态范围很大，例如从1021010Hz。为了表示频率在极大范围内变化时电路特性的变化，可以用对数坐标来画幅频和相频特性曲线。常画出20lg|H(j)|和()相对于对数频率坐标的特性曲线，这种曲线称为波特图。横坐标采用相对频率/C，使曲线具有一定的通用性。幅频特性曲线的纵坐标采用分贝(dB)作为单位。|H(j)|与20lg|H(j)|(dB)之间关系如表12-l所示。表12-l比值A与分贝数的关系由式(12－9)和(12－10)画出的波特图如图12－7所示图12-6图12-7采用对数坐标画频率特性的另一个好处是可用折线来近似。)1112(1log10|)j(|log202CH当C时是平行横坐标的直线0|)j(|log20ωH图12-7当C时是斜率与-20dB/十倍频成比例的一条直线。两条直线交点的坐标为(l，0dB)，对应的频率C称为转折频率。当=C时，20lg|H(jC)|=-3dB，常用振幅从最大值下降到3dB的频率来定义滤波电路的通频带宽度(简称带宽)。例如，上图所示低通滤波器的带宽是0到C。图12-7CC20logωωωωωHlog20log20|)j(|log20在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。二、一阶RC高通滤波电路)1212(j1jj1)j(12RCRCCRRUUH令τRCω11C对图(a)所示RC串联电路，电阻电压对输入电压的转移电压比为图12-7(a)将上式改写为其中)1312()(|)j(|jj)j(ωθωHωωωωωHCC1)1512(arctan90)()1412(|)j(|2CCC1ωωωθωωωωωH波特图如图所示，该曲线表明图12-8(a)电路具有高通滤波特性。由此可见，当C时，曲线近乎一条平行于横坐标的直线，当C时，曲线趋近于一条直线，其斜率与20dB/十倍频成比例。以上两条直线交点的坐标为(l，0dB)，对应的频率C称为转折频率。图12-8当=C时，20lg|H(jC)|=-3dB，我们说此高通滤波电路的带宽从C到∞。从图(c)可见，该高通滤波电路的相移角度从90°到0°之间变化，当=C时，()=45。图12-8在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。0j1111j223123UCRURURURUCR图12－9(a)所示电路的相量模型如图12－9(b)所示。为求负载端开路时转移电压比，可外加电压源，列出结点3和结点2的方程：1U12/UU图12-9三、二阶RC滤波电路消去，求得3U)1612()(|)j(|j311)j(2212HRCCRUUH2其中)1812(13arctan)()1712(9)1(1|)j(|2222222CRRCCRCRH222图12-103742.06724.21CRC图12-10该电路的幅频和相频特性曲线，如图所示。幅频曲线表明该网络具有低通滤波特性，图12－10(b)所示相频特性表明该网络的移相角度在为0到-180°之间变化，当=C时，。幅频曲线的其转折角频率为55.52)(Cωθ用类似方法求出12-11(a)电路的转移电压比为)1912(j31)j(222212RCCRCRUUH22其幅频特性曲线如图12-11(b)所示。该网络具有高通滤波特性，其转折频率的公式为6724.23742.01CRC图12-11该网络移相范围为180°到0°。当=C时，|H(jC)|=0.707,(C)=52.55。与一阶RC滤波电