冲击函数匹配法

第二章连续时间系统的时域分析信号与系统信号与系统SignalsandSystemsSignalsandSystems本章主要内容(1)微分方程的建立与求解(2)起始点的跳变---从0-到0+状态的转换(3)零输入响应和零状态响应(4)冲激响应和阶跃响应(5)卷积及其性质(6)用算子符号表示微分方程本章教学要求(1)掌握系统微分方程的建立与求解方法.(2)掌握起始点跳变的判断方法.(3)掌握连续系统的零输入响应、零状态响应、冲激响应与阶跃响应的求解方法.(4)掌握卷积积分及其主要性质,了解卷积积分的图解.并会利用卷积及其性质求解系统响应.(5)了解算子符号基本规则,会用算子符号表示微分方程.2.1引言线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性微分方程。在系统的微分方程中，包含有表示激励和响应的间函数以及他们对于时间的各阶导数的线性组合。因此，在分析过程中，如果不经过任何变换，则所涉及的函数的变量都是时间t，这种分析方法称为时域分析法。如果为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量，则相应的称为变换域分析法。例如在傅立叶变换中，将时间变量变换为频率变量去进行分析，就称为频域分析法。本章介绍二种时域分析法:求解微分方程法与卷积法.2.2微分方程式的建立与求解进行系统分析时，首先要建立系统的数学模型。对于电的系统，这一工作并不难。只要利用理想电路元件的约束特性(伏安关系)及系统结构的约束特性(基尔霍夫定律)，就可以列出一个或者一组描述电路工作的线性微分方程。三种基本元件的伏安关系+-RiuRuiRiu/,+-LiutduLtidttdiLtu)(1)(,)()(+-CiutdiCtudttduCti)(1)(,)()(例2-1:求下图所示RLC并联电路的端电压u(t)与激励源is(t)间的关系.is(t)u(t)+-iRiLiC解:以u(t)为变量,根据元件的伏安关系有:RtutiR)()(tLduLti)(1)(dttduCtiC)()(对整个电路,根据基尔霍夫电流定律(KCL)有)()()()(titititiSCLR将式(1)(2)(3)代入式(4)并化简,有(1)(2)(3)(4))()(1)(1)(22tidtdtuLtudtdRtudtdCS(5)对于复杂系统,设激励信号为e(t),系统响应为r(t),则可以用一高阶微分方程表示)()()()()()()()(1111011110teEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmnnnnnn由微分方程的古典解法可知，完全解由两个部分组成，一为与该方程对应的齐次方程的通解，另一为满足此非齐次方程的特解。作为系统的响应来说，通解就是自然响应或称自由响应。特解就是受迫响应。(一)对应的齐次方程的通解式(2-1)对应的齐次方程如下(2-1)0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCnnnnnn)(trh(2-2)式(2-1)的特征方程如下01110nnnnCCCC(2-3)式(2-3)的n个根:1,2,…,n称为微分方程的特征根.(1)在特征根各不相同(无重根)的情况下,微分方程的齐次解为nititntthineAeAeAeAtr12121)((2-4)(2)若特征根有重根,例如1是k阶重根,则对应于1的重根部分将有k项,形如kitikitkkkketAeAtAtAtA11221111)()(其中常数A1,A2,…,An由初始条件决定.(3)特征根有共轭复根情况例如1,2=p±j,则对应于复根1,2部分将有二项,形如ptetAtA)]sin()cos([21(二)微分方程的特解)(trp微分方程的特解的函数形式与激励函数形式有关.将激励e(t)代入微分方程式(2-1)[教材上为p45式(2-9)],化简,观察右端‘自由项’选择特解函数式,代入方程后求出待定系数,即可求出特解.激励函数e(t)特解函数E(常数)Bpt1121ppppBtBtBtBtetBe)sin()cos(tt)sin()cos(21tBtBB为待定系数(三)微分方程的完全解完全解:)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi根据初始条件:(2-5))1,,1,0)(0()(nkrk确定式(2-5)中常数A.例2-2:给定系统的微分方程)(3)()(2)(3)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd若激励信号为,初始状态为tete4)(求系统的响应r(t).2)0(,1)0(rr解：1)求对应齐次方程的通解系统的特征方程为)(trh0232特征根为:1=-1,2=-2对应的齐次解为:ttheAeAtr221)(2)求特解)(trp将tete4)(代入方程右端,得tetrtrdtdtrdtd422)(2)(3)(选特解函数式tpBetr4)(B为待定系数,代入方程后有:tttteBeBeBe44442121661B特解为:tpetr461)(3)求完全解r(t)tttpheeAeAtrtrtr422161)()()(由初始条件确定常数A1,A2.2322)0(161)0(2121AArAAr2531121AA得所以,系统响应为ttteeetr426125311)(t0完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,…,n)称为系统的‘固有频率’(或‘自由频率’)ttteeetr426125311)(完全响应自由响应强迫响应上例中完全解的分解如下:2.3起始点的跳变从0-到0+状态的转换一般激励e(t)是从t=0时刻加入,系统响应区间为t0.1)起始状态(简称0-状态)是指激励e(t)加入之前瞬间系统的状态.)]0(,),0(),0([)0(11)(rdtdrdtdrrnnk2)初始条件(简称0+状态)是指激励e(t)加入之后瞬间系统的状态.)]0(,),0(),0([)0(11)(rdtdrdtdrrnnk用时域经典法求解系统响应时,为确定自由响应部分的常数,需要知道0+状态.一般0-状态是已知的或很容易求出的,如何由0-状态和激励信号求出0+状态?分二种情况进行1)对于一个具体电路先求出储能元件C和L上的起始电压uC(0-)和起始电流iL(0-),当电路中无冲激电流(或阶跃电压)作用于电容以及无冲激电压(或阶跃电流)作用于电感时,则换路前后电容两端的电压和电感中电流不会发生突变.uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-).然后根据元件伏安特性和网络拓扑约束求出0+时刻其它电流或电压值例2-3:电路见图(1).t0开关S处于1的位置且已经达到稳态;t=0时,S由1转向2,求)0()0(idtdi解:i(t)12C换路前ARRiiL542)0()0(210)0(idtdVRiuLC562354)0()0(2换路后,作出0+时刻等效电路,见图(2).图(1)图(2)0+时刻等效电路i(0+)AueRiC514)564(11)]0()0([1)0(1sAiiCedtdRudtdedtdRidtdLC/2)]54514(110[11))]0()0((1)0([1)]0()0([1)0(112)对于用微分方程表示的系统系统的0-状态到0+状态有无跳变决定于微分方程右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.如果包含(t)及其各阶导数,则0-到0+状态发生了跳变,即.)0()0()0()0(rrrr.可用冲激函数匹配法求出0+状态.冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等.下面举例说明冲激函数匹配法确定0+状态方法.例2-4:给定系统的微分方程)(3)()(2)(3)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd若激励信号为,起始状态为)()(tute求0+状态2)0(,1)0(rr).0(),0(rr解:将e(t)=u(t)代入方程式(1),求得t=0时微分方程表示为)(3)()(2)(3)(22tuttrtrdtdtrdtdΔu(t)为0-到0+相对单位跳变函数,方程(2)右端自由项中含有(t),故从0-到0+状态发生跳变.方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是(t),因而可以设(1)(2)0)()()()()()(22trtuatrdtdtubtatrdtd)(3)(02)(3)()(tuttuatubta331aba01ba0)0()0(1)0()0(0)0()0(2222brdtdrdtdardtdrdtdrr(0-t0+)代入式(2)求得因而有321)0(1)0(1)0()0(rdtdrdtdrr0+状态为)()()()()()()()()(1111011110tuEtEtdtdEtdtdEtdtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmmnnnnnn一般情况,t=0时微分方程为(0-t0+)可以设)()()()()()()()()()()()(01)2(1)1(1101)1(1)(trtuatatatatrdtdtubtatatatatrdtdmmmmnnmmmmnn代入t=0时方程,求出a0,a1,a2,…,am,b.则)0()0()0()0()0()0(01111rrardtdrdtdbrdtdrdtdnnnnnnnn)0()0()0()0()0()0(11011rrrdtdardtdrdtdbrdtdnnnnnnnn0+状态为2.4零输入响应和零状态响应零输入响应:没有外加激励信号的作用,只有起始状态(起始时刻系统储能)所产生的响应.记作.)(trzi零状态响应:不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等于零),由系统的外加激励信号所产生的响应.记作.)(trzsH[•]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}])(trzi)(trzs1)零输入响应是满足方程)(trzi0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCzinzinzinnzinn及起始状态的解.它是齐次解中的一部分.)1,...,1,0)(0()(nkrknktzikzikeAtr1)(0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCzinzinzinnzinn由于无外界激励作用,因而系统的状态不会发生变化,)0()0()()(kkrr所以Azik可以由确定.)0()(kr2)零状态响应是满足方程)(trzs)()()()()()()()(1111011110teEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmzsnzsnzsnnzsnn及起始状态的解.其形式为)1,...,1,0(0)0()(nkrkB(t)为特解.由此