2019年全国1卷文科数学

12019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设3i12iz，则z=（）A．2B．3C．2D．12．已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，，，则UBAð（）A．1,6B．1,7C．6,7D．1,6,73．已知0.20.32log0.2,2,0.2abc，则（）A．B．C．D．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cmB．175cmC．185cmD．190cmabcacbcabbca25．函数2sin()cosxxfxxx在[—π，π]的图像大致为（）A．B．C．D．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=（）A．－2－3B．－2+3C．2－3D．2+38．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π69．如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入（）A．12AAB．12AAC．112AAD．112AA310．双曲线C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50D．1cos5011．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知CcBbAasin4sinsin，41cosA，则bc=（）A．6B．5C．4D．312．已知椭圆C的焦点为12(1,0),(1,0)FF，过F2的直线与C交于A，B两点.若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为（）A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线2)3(exyxx在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若13314aS，，则S4=___________．15．函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为___________．16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（本小题满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828518．（本小题满分12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．620．（本小题满分12分）已知函数xxxxxfcossin2)(，)(xf为)(xf的导数．（1）证明：)(xf在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，axxf)(，求a的取值范围．721.（本小题满分12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．8（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．2cos3sin11092019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．C7．D8．B9．A10．D11．A12．B二、填空题13．y=3x14．5815．−416．2三、解答题17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010)4.76250507030K．由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：（1）设na的公差为d．由95Sa得140ad．由a3=4得124ad．于是18,2ad．因此na的通项公式为102nan．（2）由（1）得14ad，故(9)(5),2nnnndandS.由10a知0d，故nnSa…等价于211100nn„，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是{|110,}nnnN剟．1019．解：（1）连结1,BCME.因为M，E分别为1,BBBC的中点，所以1MEBC∥，且112MEBC.又因为N为1AD的中点，所以112NDAD.由题设知11=ABDC∥，可得11=BCAD∥，故=MEND∥，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED∥.又MN平面1CDE，所以MN∥平面1CDE.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，1DECC，所以DE⊥平面1CCE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面1CDE，故CH的长即为C到平面1CDE的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以117CE，故41717CH.从而点C到平面1CDE的距离为41717.20．解：（1）设()()gxfx，则()cossin1,()cosgxxxxgxxx.当π(0,)2x时，()0gx；当π,π2x时，()0gx，所以()gx在π(0,)2单调递11增，在π,π2单调递减.又π(0)0,0,(π)22ggg，故()gx在(0,π)存在唯一零点.所以()fx在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0faf…，可得a≤0.由（1）知，()fx在(0,π)只有一个零点，设为0x，且当00,xx时，()0fx；当0,πxx时，()0fx，所以()fx在00,x单调递增，在0,πx单调递减.又(0)0,(π)0ff，所以，当[0,π]x时，()0fx….又当0,[0,π]ax„时，ax≤0，故()fxax….因此，a的取值范围是(,0].21．解：（1）因为M过点,AB，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线+=0xy上，且,AB关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设(,)Maa.因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为|2|ra.由已知得||=2AO，又MOAO，故可得2224(2)aa，解得=0a或=4a.故M的半径=2r或=6r.（2）存在定点(1,0)P，使得||||MAMP为定值.理由如下：设(,)Mxy，由已知得M的半径为=|+2|,||=2rxAO.由于MOAO，故可得2224(2)xyx，化简得M的轨迹方程为24yx.因为曲线2:4Cyx是以点(1,0)P为焦点，以直线1x为准线的抛物线，所以||=+1MPx.因为||||=||=+2(+1)=1MAMPrMPxx，所以存在满足条件的定点P.1222．解：（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx.l的直角坐标方程为23110xy.（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）.C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377.当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.23．解：（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc.所以222111abcabc.（2）因为,,abc为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac=24.所以333()()()24abbcca.