平面向量经典例题讲解

第1页共14页◎第2页共14页平面向量经典例题讲解讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________一、选择题（题型注释）1．空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc,点M在OA上，且MAOM2，N为BC的中点，则MN=（）A．121-232abcB．211322abcC．112-223abcD．221-332abc【答案】B【解析】试题分析：因为N为BC的中点，则1()2ONOBOC，12()23MNONOMOBOCOA112223bca，选B考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；2．已知平面向量a，b满足||1a，||2b，且()aba，则a与b的夹角是（）（A）56（B）（C）3（D）23【答案】D【解析】试题分析：2()()00abaabaaab，||1a，||2b，设夹角为，则212112cos0cos23aab考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos的值，求出角3．若OA、OB、OC三个单位向量两两之间夹角为60°，则OAOBOCA.3B.3C.6D.6【答案】D【解析】试题分析：OA、OB、OC三个单位向量两两之间夹角为60°222222232cos602cos602cos60abcabcabbcacabbcac66abc考点:向量的数量积.4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F,若ACa，BDb，则AF()A.1142abB.1233abC.1124abD.2133ab【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，AEB与FED相似，且相似比为3:1，所以13DFDC,由向量加减法的平行四边形法则可知，,ABADaADABb，解得，,22ababADAB，由向量加法的三角形法则可知，121333AFADDFADABab,故D正确。考点：平面向量的加减法5．在边长为1的等边ABC中，,DE分别在边BC与AC上，且BDDC，2AEEC则ADBE（）A．12B．13C．14D．16【答案】A【解析】试题分析：由已知,DE分别在边BC与AC上，且BDDC，2AEEC则D是BC的中轴点，E为AC的三等分点，以D为坐标原点，DA所在直线为y轴，BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，)23,0(A，)0,21(C，)0,21(B，设),(yxE，由ECAE2可得：),21()23,(2yxyx，第3页共14页◎第4页共14页解得：33,61yx，则)23,0(AD，)33,32(BE，21BEAD考点：平面向量的坐标运算6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)AB，(1,3)AC，则DA＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【答案】C．【解析】试题分析：()(1,1)DAADACAB．考点：平面向量的线性运算．7．已知向量1,2a，//abb，则b可以为（）A．1,2B．1,2C．2,1D．2,1【答案】A【解析】试题分析：设),(yxb，则)2,1(yxba，因//abb，所以0)2()1(yxyx，02xy，只有A满足考点：向量共线的条件8．已知向量(2,3),(1,2)ab，若4mab与2ab共线，则m的值为（）A．12B．2C．12D．2【答案】D【解析】试题分析：由已知得4mab)83,42()2,1(4)3,2(mmm，2ab)1,4()2,1(2)3,2(又因为4mab与2ab共线，所以有228140)83(4)1()42(mmmm，故选D．考点：1．向量的坐标运算；2．向量平行的坐标条件．9．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(a,)23,(mmb,且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成bac,(为实数）,则实数m的取值范围是（）A．(,2)B．(2,)C．(,)D．(,2)(2,)【答案】D【解析】试题分析：平面内的任一向量c都可以唯一的表示成bac,(为实数）的充要条件是)2,1(a,)23,(mmb不共线,即132202mmm,故选D.考点：平面向量的基底及向量共线10．若向量(1,2)a,(2,1)b,(4,2)c=,则下列说法中错误．．的是（）A.abB.向量a与向量c的夹角为90C.b∥cD.对同一平面内的任意向量d,都存在一对实数12,kk,使得12kkdb+c【答案】D【解析】试题分析：022ba，故A正确；0)2()2()4(1ca，所以B正确；cb21，故C正确；因为cb,是共线的，不能作为基底，故D错考点：向量的夹角11．已知向量3,4a=，若5a，则实数的值为（）A．15B．1C．15D．1【答案】D【解析】试题分析：因为3,4a=，所以22345a，因为5aa，所以55，解得：1，故选D．考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．12．若向量2,1a，0,2b，则以下向量中与ab垂直的是（）第5页共14页◎第6页共14页A．1,2B．1,2C．2,1D．0,2【答案】A【解析】试题分析：∵向量2,1a，0,2b，∴(2,1)ab，而12(2)10，∴以下向量中与ab垂直的是1,2.考点：向量垂直的充要条件.13．在边长为1的正三角形ABC中，设2BCBD，CACE，若14ADBE，则的值为（）（A）12（B）2（C）13（D）3【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：12ADBEABBDBCCEABBCBCCA21122ABBCBCABCABCCA41422121，所以31.考点：向量的应用.14．已知向量(1,2)a，(1,0)b，(3,4)c，若为实数，()abc，则（）A．53B．12C．52D．113【答案】D【解析】试题分析：1,2ab,因为abc,所以31420abc,解得113.故D正确.考点：向量垂直;向量的数量积.15．在△ABC中，已知||4,||1ABAC，3ABCS，则ABAC的值为（）（A）2（B）2（C）4（D）2【答案】D【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.13141sinA3sinAcosA,222ABCACABSACAB，，，，cosA2ABACABAC，故选D考点：平面向量的数量积二、填空题（题型注释）16．已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为________．【答案】6【解析】|a|＝2234＝5，|b|＝2202＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ＝abab＝852＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝21cos＝2415＝35.故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝5×2×35＝6.17．△ABC中AB＝2，AC＝3，点D是△ABC的重心，则AD·BC＝________．【答案】53【解析】设E为边BC的中点，因为点D是△ABC的重心，所以AD＝23AE＝23×12(AB＋AC)＝13(AB＋AC)，又BC＝AC－AB，所以AD·BC＝13(AB＋AC)·(AC－AB)＝13(AC2－AB2)＝5318．已知a=（2,0），||3b，,ab的夹角为60°，则|2|ab．【答案】13【解析】试题分析：222441612913abaabb.考点：向量的基本运算.19．已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为48，则异面直线AB与OC所成角余弦值为.第7页共14页◎第8页共14页【答案】36【解析】试题分析：过O作BC的垂线，垂足为M，以MA所在线为x轴，以MC所在线为y轴，以MO所在线为z轴，建立直角坐标系，所以(2,00)A，，(0,2,0)B，(0,2,0)C，(0,0,22)O，(2,2,0)BA，(0,2,22)OC，所以43cos64448.考点：1.空间向量法；2.夹角公式.20．已知||1a，||2b，a与b的夹角为120，0acb，则a与c的夹角为．【答案】90【解析】试题分析：要求a与c的夹角一般可先求两向量的数量积ac，而()cab，因此ac()aab2aab，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故ac，夹角为90．考点：向量的夹角．21．已知0cba，且a与c的夹角为60，ab3，则ba,cos等于.【答案】32【解析】试题分析：∵0cba，∴()bac，∴22202||||cos60bacac，∴2223||||aacac，∴222||||0aacc，∴||||ac，∴22023()||||||cos60||2abaacaacaaca∴23||32cos,2||||||3||aabababaa.考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.22．已知点G为ABC△的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于,MN两点，且,AMxAB,ANyAC,xyR，则11xy．【答案】3【解析】试题分析：根据题意画出图像，因为G为ABC△的重心,所以211111132333AGABACAMANAMANxyxy,因为:,,MGN三点共线,所以11133xy,所以113xy,所以答案为:3．考点：1．向量的运算；2．三点共线的性质．23．已知向量),2,4(),3,1,2(xba　　　　　，若//ab，则x；【答案】-6【解析】试题分析：由ba可知，2，所以6x.考点：空间向量共线定理.24．设向量(3,1),(2,2)ab，若()()abab，则实数.【答案】2【解析】试题分析：由已知得(32,2)ab，(32,2)ab；由()()abab得()()0abab所以有0)2()2()23()23(即0842，解得2故答案为：2.考点：向量的数量积的坐标运算.25．已知向量(1,2)a，(2,3)b，若mab与nab的夹角为钝角，则实数的取值范围是．【答案】9且1x【解析】第9页共14页◎第10页共14页试题分析：mab(2,23)，nab(3,1)，若mab与nab的夹角为钝角，则()()3(2)(23)0abab，即：9，又mn与不共线，则(2)3(23)0,即：1，则9且1x考点：1．向量的夹角；2．向量的数量积；3．共线向量；4．向量的坐标运算公式；26