2006年高考重庆卷理科数学试题及参考答案

重庆数学理12006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题（理工农医类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂共他答案标号。3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字后，将答案书写在答题卡规定的位置上。4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP．如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(．一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则（CUA）∪（CUB）=（A）{1，6}（B）{4，5}（C）{2，3，4，5，7}（D）{1，2，3，6，7}（2）在等差数列{an}中，若a4+a6=12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为重庆数学理2（A）48（B）54（C）60（D）66（3）过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为（A）y=－3x或xy31（B）y=3x或xy31（C）y=－3x或xy31（D）y=3x或xy31（4）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（A）平行（B）相交（C）垂直（D）互为异面直线（5）若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）－540（B）－162（C）162（D）540（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：重庆数学理3根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是（A）20（B）30（C）40（D）50（7）与向量27,21,21,27ba的夹角相等,且模为1的向量是（A）53,54（B）53,54或53,54（C）31,322（D）31,322或31,322（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种（9）如图所示,单位圆中弧AB的长为)(,xfx表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数)(xfy的图象是⌒⌒重庆数学理4（10）若a,b,c0且324)(bccbaa,则cba2的最小值为（A）13（B）13（C）232（D）232二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）复数的值是_______．（12）12)12(312limnnnn_______．（13）已知4cos,13124sin,53)sin(,,43,则_______．（14）在数列na中,若32,111nnaaa（n≥1）,则该数列的通项na_______．（15）设,1,0aa函数)32lg(2)(xxaxf有最大值,则不等式0)75(log2xxa的解集为_______．（16）已知变量yx,满足约束条件41yx,22yx,若目标函数yaxz（其中0a）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______．1+2i3+i3重庆数学理5三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）(本小题满分13分)设函数2cos3)(xfωx+sinωxcosωx+a（其中ω0,a∈R）,且)(xf的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果)(xf在区间65,3上的最小值为3,求a的值．（18）(本小题满分13分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31,用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求：（Ⅰ）随机变量的分布列；（Ⅱ）随机变量的期望．（19）(本小题满分13分)如图,在四棱锥ABCDP中,PA底面ABCD,DAB为直角,,2,//ABCDADCDABE、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）试证：CD平面BEF；（Ⅱ）设ABkPA,且二面角CBDE的平面角大于30°,求k的取值范围．（20）(本小题满分13分)重庆数学理6已知函数xecbxxxf)()(2,其中Rcb,为常数．（Ⅰ）若)1(42cb,讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）若)1(42cb,且,4)(lim0xcxfx试证：26b．（21）(本小题满分12分)已知定义域为R的函数)(xf满足xxxfxxxff22)())((．（Ⅰ）若3)2(f,求)1(f；又若)(,)0(afaf求；（Ⅱ）设有且仅有一个实数0x,使得00)(xxf,求函数)(xf的解析表达式．（22）(本小题满分12分)已知一列椭圆,1:222nnbyxC10nb,n=1,2,…,若椭圆Cn上有一点Pn,使Pn到右准线ln的距离dn是|PnFn|与|PnGn|的等差中项,其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点．（Ⅰ）试证：23nb（n≥1）；（Ⅱ）取232nnbn,并用Sn表示△PnFnGn的面积,试证：121nnSSSS且（n≥3）．重庆数学理72006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.（1）D（2）B（3）A（4）C（5）A（6）C（7）B（8）B（9）D（10）D二、填空题：每小题4分，满分24分.（11）i107101（12）21（13）6556（14）321n（15）（2，3）（16）a1三、解答题：满分76分.（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）axxxf|23|2sin212cos23)(.23)32sin(ax重庆数学理8依题意得.2362解得.21（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.23)3sin()(axxf又当]65,3[x时，]67,0[3x故1)3sin(21x，从而]65,3[)(在xf上取得最小值.2321a因此，由题设知213,32321aa故.（18分）（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.由等可能性事件的概率公式得.2438032)1(,2433232)0(541555CPP.2434032)3(,2438032)2(54355325CPCP.243131)5(,2431032)4(5545PCP从而ξ的分布列为ξ012345P24332243802438024340243102431（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为重庆数学理9.3524340524315243104243403243802243801243320E解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.故),31,5(B即.5,4,3,2,1,0,)32()31()(545kCkPkk由此计算ξ的分布列如解法一.（Ⅱ）.35315E解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.即,53E从而.35E（19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）证：由已知ABDF//且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CD⊥BF.又PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,故由三垂线定理知CD⊥PD.在△PDC中,E、F分重庆数学理10别为PC、CD的中点，故EF//PD，从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF.（Ⅱ）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在△PAC中易知EG//PA，又因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD.在底面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.设AB=A，则在△PAC中，有kaPABG2121以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD，因DFGBGHBDSGBD2121故.BDDFGBGH在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得.5aBD而ABDFaADFBGB,2121，从而得aaaaBDABGBGH555因此.255521tankakaGHEGEHG由k0知∠EHG是锐角，故要使∠EHG30°，必须重庆数学理11,3330tan25k解之得，k的取值范围为.15152k解法二：（Ⅰ）如图，以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），F（a，2a，0）从而)0,2,0(),0,0,2(aBFaDC，.,0BFDCBFDC故设PA=B，则P（0，0，b），而E为PC中点，故)2,,(baaE.从而).2,,0(baBE.,0BEDCBEDC故由此得CD⊥面BEF.（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G,过G作为GH⊥BD垂足为H,由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.由)0,,(),2,,(),,0,0(aaGkaaaEkaPABkPA得.设)0,,(yxH，则)0,2,(),0,,(aaBDayaxCH，重庆数学理12由0)(2)(0ayaaxaBDGH得，即ayx2①又因)0,,(yaxBH，且BDBH与的方向相同，故ayaax2，即ayx22②由①②解得ayax54,53.从而aGHaaCH55||),0,51,52(..25552||||tankakaGHEGEHG由k0知∠EHG是锐角，由∠EHG30°，得30tantanEHG，即.3325k故k的取值范围为.15152k（20）（本小题13分）解：（Ⅰ）求导得22])2([)(ccbxbxxf因0)2(0)(),1(422cbxbxxfcb即故方程有两根；2)1(4222)1(4222221cbbxcbbx令21,0)(xxxxxf或解得；又令21,0)(xxxxf解得，重庆数学理13故当)(,),(1xfxx时是增函数；当)(,),(2xfxx时是增函数；但当)(,),(21xfxxx时是减函数.（Ⅱ）易知cbfcf)0(,)0(，因此.)0()0()(lim)(lim00cbfxfxfxcxfnn所以，由已知条件得),1(4,42cbcb因此.01242bb解得26b.（21）（本小题12分）解：（Ⅰ）因为对任意xxxfxxxffRx22)())((,有，所以.22)2()22)2((22