《两角差的余弦公式》课件

两角差的余弦公式授课人：李玉姗某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度.BDAC60°45°15°CD=BD－BCBD=ABtan60°AB=60cos15°BC=60sin15°cos15°=?sin15°=?15°能否写成两个特殊角的差的形式？cos15°=cos(45°−30°)=?推广到一般情况：当𝛼，𝛽为任意角时，能不能用𝛼，𝛽的三角函数值，把𝛼+𝛽，𝛼−𝛽的三角函数值表示出来？如何用任意角𝛼，𝛽的正弦，余弦值来表示cos(𝛼−𝛽）呢？猜想cos(𝛼−𝛽）=cos𝛼−cos𝛽成立吗？不成立设角𝛼，𝛽为锐角且𝛽𝛼cos(𝛼−𝛽）=？方法：对于角的问题的研究，我们往往借助于坐标系和单位圆来进行。设角𝛼，𝛽为锐角且𝛽𝛼xyOxyＭＡOＢNCDsin𝛽=CBcos𝛽=OCOM=ON+NM=OCcos𝛼+CBsin𝛼=cos𝛽cos𝛼+sin𝛽sin𝛼cos(𝛼−𝛽）=OM说明：上述结论虽在𝛼，𝛽，𝛼−𝛽均为锐角的情况下得到的，但对于𝛼，𝛽为任意角的情况都是成立的，只是要做不少的推广工作，有兴趣的同学可以自己课下动手试一下。再探究：还有没有其它证明方法？思考，上一章还学过哪些与三角函数有关的知识呢？在单位圆中，记𝑂𝐴，𝑂𝐵的夹角为𝜃𝑂𝐴=𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼𝑂𝐵=(𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑠𝑖𝑛𝛽)𝑂𝐴∙𝑂𝐵=𝑂𝐴𝑂𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑐𝑜𝑠𝜃𝑂𝐴∙𝑂𝐵=cos𝛽cos𝛼+sin𝛽sin𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃=cos𝛽cos𝛼+sin𝛽sin𝛼2k𝜋+𝜃=𝛼−𝛽2k𝜋+𝜃=𝛽−𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃=cos(𝛼−𝛽）cos()coscossinsin.说明：1.简记为𝐶𝛼−𝛽2.形式：“余余正正，符号反”【例1】利用差角余弦公式求cos15°的值。6+24思考：求sin75°的值【例2】已知sin𝛼=45，𝛼∈𝜋2,𝜋,𝑐𝑜𝑠𝛽=−513,𝛽是第三象限角，求cos(𝛼−𝛽)的值.224,5243=1sin155解：由sin，得cos22513512=1cos11313又由cos，是第三象限角，得sin-=+35412=[phone]=65coscoscossinsin思考：把上题中𝛼∈𝜋2,𝜋,删掉结果会怎样？【练习1】求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；(2)cos7°－sin15°sin8°cos8°.【思路探究】(1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解.(2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.126+24【练习1】(3)sin15cos75cos15sin105(4)sin()sin()cos()cos()4444xxxx求值：化简：【练习2】提示：观察已知角与所求角之间的关系注意角的取值范围45(1),,513123(2)2135已知，都是锐角，coscos求cos的值.已知，都是锐角，cos，cos，求cos的值.回顾小结1.学到了什么知识？2.推导的过程上有什么体会？3.习得哪些数学思想和方法？作业：习题3.1A组第2、3、4题【思考题】41,tan(),53cos已知锐角、满足cos求的值.