2007年高考文科数学(四川)卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8}那么M∪N=(A){3,4,5,6,7,8}(B){5,8}(C){3,5,7,8}(D){4,5,6,8}(2)函数f(x)=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是(A)150.2克(B)149.8克(C)149.4克(D)147.8克(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是(A）BD∥平面CB1D1(B)AC1⊥BD(C)AC1⊥平面CB1D1(D)异面直线AD与CB所成的角为60°（5）如果双曲线2422yx＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是(A)364(B)362(C)62(D)32（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是2，且二面角B-OA-C的大小是3，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是(A)67(B)45(C)34(D)23（7）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其降n项和Sn=100,则n=(A)9(B)10(C)11(D)12(8)设A（a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（A）4a-5b=3（B）5a-4b=3（C）4a+5b=14（D）5a+4b=12(9)用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（A）48个（B）36个（C）24个（D）18个(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（A）3（B）4（C）32（D）42（11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（A）36万元（B）31.2万元（C）30.4万元（D）24万元(12)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2与l3同的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（A）23（B）364（C）473（D）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上.（13）.1nxx的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是.14、在正三棱柱111ABCABC中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC与侧面11ACCA所成的角是____________15、已知的方程是2220xy，的方程是228100xyx，由动点P向和所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________16、下面有5个命题：①函数44sincosyxx的最小正周期是；②终边在y轴上的角的集合是{|,}2kkZ；③在同一坐标系中，函数sinyx的图象和函数yx的图象有3个公共点；④把函数3sin(2)3yx的图象向右平移6得到3sin2yx的图象；⑤角为第一象限角的充要条件是sin0其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤（17）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率.(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。(18)（本小题满分12分）已知cosα=71,cos(α-β)＝1413，且0βα2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.(19)(本小题满分12分)如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；(Ⅲ)求多面体PMABC的体积.（20）(本小题满分12分)设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1,f（1））处的切线与直线x－6y－7=0垂直，导函数f＇（x）的最小值为－12.（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.（21）(本小题满分12分)求F1、F2分别是横线2214xy的左、右焦点.（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，221254PFPF，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.（22）(本小题满分14分)已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N+），其中为正实数.（Ⅰ）用xx表示xn+1；（Ⅱ）若a1=4，记an=lg22nnxx，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn3.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.D2.C3.B4.D5.A6.C7.B8.A9.B10.C11.B12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．13.8n．14.3015.32x16.①④．三、解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A．用对立事件A来算，有4()1()10.20.9984PAPA（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i件”(1,2)i为事件iA．11173122051()190CCPAC2322203()190CPAC∴商家拒收这批产品的概率1251327()()19019095PPAPA．故商家拒收这批产品的概率为2795．18、（本小题满分12分）解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．（Ⅰ）由1cos7，π02，得22143sin1cos1()77．∴sin437tan43cos71．于是222tan24383tan21tan471(43)．（Ⅱ）由π02，得02．又∵13cos()14，∴221333sin()1cos()1()1414．由()，得coscos[()]coscos()sinsin()113433317147142∴π3．19、（本小题满分12分）解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．（Ⅰ）∵平面PCBM平面ABC，ACBC，AC平面ABC．∴AC平面PCBM又∵BM平面PCBM∴ACBM（Ⅱ）取BC的中点N，则1CN．连接AN、MN．∵平面PCBM平面ABC，平面PCBM平面ABCBC，PCBC．∴PC平面ABC．∵//PMCN，∴//MNPC，从而MN平面ABC．作NHAB于H，连结MH，则由三垂线定理知ABMH．从而MHN为二面角MABC的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴60AMN．在ACN中，由勾股定理得2AN．在RtAMN中，36cot233MNANAMN．在RtBNH中，15sin155ACNHBNABCBNAB．在RtMNH中，6303tan355MNMHNNH故二面角MABC的大小为30tan3arc（Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．设0(0,0,)Pz0(0)z，有(0,2,0)B，(1,0,0)A，0(0,1,)Mz．0(1,1,)AMz，0(0,0,)CPz由直线AM与直线PC所成的角为60°，得cos60AMCPAMCP即22000122zzz，解得063z．∴6(1,1,)3AM，(1,2,0)AB设平面MAB的一个法向量为1111(,,)nxyz，则由6003020nAMxyznABxy，取16z，得1(4,2,6)n取平面ABC的一个法向量为2(0,0,1)n则12cos,nn121263913261nnnn由图知二面角MABC为锐二面角，故二面角MABC的大小为39arccos13．（Ⅲ）多面体PMABC就是四棱锥ABCPM1111166()(21)13323236PMABCAPMBCPMBCVVSACPMCBCPAC20、（本小题满分12分）设函数3()fxaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导函数'()fx的最小值为12．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．（Ⅰ）∵()fx为奇函数，∴()()fxfx即33axbxcaxbxc∴0c∵2'()3fxaxb的最小值为12∴12b又直线670xy的斜率为16因此，'(1)36fab∴2a，12b，0c．（Ⅱ）3()212fxxx．2'()6126(2)(2)fxxxx，列表如下：x(,2)2(2,2)2(2,)'()fx00()fx极大极小所以函数()fx的单调增区间是(,2)和(2,)∵(1)10f，(2)82f，(3)18f∴()fx在[1,3]上的最大值是(3)18f，最小值是(2)82f．21、（本小题满分12分）设1F、2F分别是椭圆2214xy的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PFPF，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点(0,2)M的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知2a，1b，3c．∴1(3,0)F，2(3,0)F．设(,)Pxy(0,0)xy．则22125(3,)(3,)34PFPFxyxyxy