全等三角形的判定HL

三角形全等的判定---------HL回顾1、全等三角形的对应边---------，对应角-------2、判定三角形全等的方法有：SAS、ASA、SSS、AAS直角三角形记作Rt△ABCCBA相等相等斜边直角边直角边如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？根据ASA、AAS可测量对应一边和一锐角根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？情境问题2:对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？ABDFCE如果工作人员只带了一条皮尺，他能完成这项任务吗？任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。∟BCAB´A´按照下面的步骤画Rt△A´B´C´⑴作∠MC´N=90°;⑵在射线C´M上取线段B´C´=BC;⑶以B´为圆心,AB为半径画弧，交射线C´N于点A´;⑷连接A´B´.∟C´MN请你动手画一画再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´=90°，B´C´=BC，A´B´=AB。将画好的Rt△A′B′C′与Rt△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，数学语言：AB=A´B´∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中Rt△ABC≌Rt△A´B´C´∴∟B´C´A´∟BCA（HL）BC=B´C´简写为“斜边、直角边”或“HL”。直角三角形全等的判定方法注意：书写时必须强调直角三角形想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.判断两个直角三角形全等的方法有：(1)：；(2)：；(3)：；(4)：；SSSSASASAAAS(5)：；HL一般三角形全等的判定“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”“SSS”直角三角形全等的判定下列可使两个直角三角形全等的条件是()A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等D下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[C](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是()A．SSSB．ASAC．SSAD．HLD如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？CDAB解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,AB=AB（公共边）AC=AD（已知）∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形对应边相等).已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.ABCD证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠C=∠D=900在Rt△ABD和Rt△BAC中,AB=BA(公共边)DB=CA(已知)∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL).∴AD=BC（全等三角形的对应边相等）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD∵∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CDAB=AC（已知）AD=AD（公共边）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是高求证:BD=CD;∠BAD=∠CAD。证明：∵AD是高∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADB和Rt△ADC中AB=AC（已知）AD=AD（公共边）∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴BD=CD（全等三角形对应边相等）∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）等腰三角形三线合一ADCB如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。ABCDP证明：∵AB⊥BD,CD⊥BD∴∠B=∠D=90°∵AP⊥PC∴∠APB+∠CPD=90°∵∠PCD+∠CPD=90°∴∠APB=∠PCD在Rt△ABP和Rt△PDC中,∠B=∠D(已证)∠APB=∠PCD(已证)AP=PC（已知）∴Rt△ABP≌Rt△PDC(AAS).如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请说明理由。DABC12证明：∵∠1=∠2∴DB=DC在Rt△ABD和Rt△ACD中,AD=AD(公共边)DB=DC(已证)∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）∴AD平分∠BAC议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？∠ABC+∠DFE=90°解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF（已知）AC=DF（已知）∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°1：如图，∠B=∠E=900，AB=AE，∠1=∠2，则∠3=∠4，请说明理由。12ABCDE43证明：∵∠1=∠2∴AC=AD（等角对等边）在△ABC和△AED中,AC=AD(已证)AB=AE(已知)∴Rt△ABC≌Rt△AED(HL).∴∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）练习2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF.求证：AE=DF.ABCDEF证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC∴∠AEB=∠CFD=900∵CE=BF∴CE-EF=BF-EF即CF=BE在Rt△CDF和Rt△BAE中,CD=BA(已知)CF=BE(已证)∴Rt△CDF≌Rt△BAE(HL).∴DF=AE（全等三角形的对应边相等）BDACE练习3.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB的距离相等吗？为什么？证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB∴∠A=∠B=900∵C是AB的中点∴AC=BC在Rt△DAC和Rt△EBC中,DC=EC(已知)AC=BC(已证)∴Rt△DAC≌Rt△EBC(HL).∴DA=EB（全等三角形的对应边相等）练习4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB，求证：BC=DCCABD证明：连接AC∵AB⊥BC，AD⊥DC∴∠B=∠D=900在Rt△ABC和Rt△ADC中,AC=AC(公共边)AB=AD(已知)∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).∴BC=DC（全等三角形的对应边相等）练习5.如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：OA=OB.•证明：•∵AC⊥BC，BD⊥AD•∴∠C=∠D=900•在Rt△ABD和Rt△BAC中,•AB=BA(公共边)•DB=CA(已知)•∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL).•∴∠ABD=∠BAC（全等三角形的对应角相等）•∴OA=OB(等角对等边)ABCDO