随机准备金-拔靴法bootstrapping方法

李晓翾,中国/英国精算师非寿险随机准备金评估技术研讨会深圳▪2012年8月8日拔靴带法及其在赔款准备金评估中的应用©2012CPCR.Allrightsreserved.主要内容2拔靴带法简介拔靴带法在准备金评估中的应用拔靴带法在Excel中的实现拔靴带法与GLM框架的关系©2012CPCR.Allrightsreserved.拔靴带法简介3•Bootstrap方法最初是由美国斯坦福大学的BradleyEfron教授于1979年在归纳前人研究成果的基础上提出来的•Bootstrap是一种通过对总体分布未知的观测数据进行模拟再抽样来对其分布特征进行统计推断的统计方法•Bootstrap的基本思想是：在原始数据的范围内做有放回的抽样，得到大量的bootstrap样本并计算相应的统计量，从而完成对其真实总体分布的统计推断•Bootstrap方法的出现，在一定程度上解决了无法获得大量样本可能导致的推断失误什么叫bootstrap方法？©2012CPCR.Allrightsreserved.拔靴带法的典故术语“Bootstrap”来自短语“topulloneselfupbyone'sbootstraps”源自西方神话故事“TheAdventuresofBaronMunchausen”，男爵掉到了深湖底，没有工具，所以他想到了拎着鞋带将自己提起来计算机的引导程序boot也来源于此意义：不靠外界力量，而靠自身提升自己的性能，翻译为自助/自举4©2012CPCR.Allrightsreserved.拔靴带法的分类5非参数bootstrap参数bootstrap©2012CPCR.Allrightsreserved.非参数Bootstrap6•非参数Bootstrap方法是在得到一组随机样本X=(X1,…,Xn)且分布F(x)未知的情况下，利用对原始样本X进行n次重复抽样获得的样本来研究F(x)的统计特征θ。•非参数Bootstrap方法的具体做法是：对原始样本X有放回的重复抽样n次，每次抽取一个，得到的样本称为一个Bootstrap样本，计算此样本下θ的估计值；然后重复抽取Bootstrap样本m次，即可得到θ估计值的分布，它可近似作为θ的分布。什么是非参数bootstrap方法？©2012CPCR.Allrightsreserved.非参数Bootstrap举例假设得到样本X=(0,0,2,2,2,4,5,6,10,10,10),我们想判断样本背后的总体分布的VaR90%单从随机样本计算出来的VaR90%为10，它正确吗？实际上，这个样本是从分布DUniform(0,10)产生的，所以VaR90%的真实值应为97©2012CPCR.Allrightsreserved.非参数Bootstrap举例这时，我们采用非参数拔靴带法得到10个拔靴带样本从而得到VaR90%的平均值为9.1，样本标准差为1.912从而我们推断，VaR90%有很大可能在9.1左右8X1X2X3X4X5X6X7X8X9X100106010102105221000210040001010210020221022101022101010010265221021022202101001010002100661040210621020222225100101040002010522662555220102100VaR90%=510610101010101010©2012CPCR.Allrightsreserved.参数Bootstrap9•参数Bootstrap方法是在得到一组随机样本X=(X1,…,Xn)且已知其总体分布F(x)的情况下，利用对原始样本X进行n次重复抽样获得的样本来研究F(x)的参数特征θ。•参数Bootstrap方法的具体做法是：用原始样本X对F(x)做参数估计θ；然后从估计的F(x)中重复抽取Bootstrap样本m次，用每个Bootstrap样本来得到参数θ估计值的分布，近似作为θ的分布。什么参数bootstrap方法？©2012CPCR.Allrightsreserved.参数Bootstrap举例假设得到样本X如右面所示，我们已知它来自于一个正态分布单从随机样本计算出来的均值为9.51，标准差为5.06。从而我们判断总体分布为N(9.51,5.06)实际上，这个样本是从正态分布N(10,5)产生的10X11.349.912.826.637.9215.218.619.955.4121.045.82©2012CPCR.Allrightsreserved.参数Bootstrap举例接下来，我们要利用参数Bootstrap技术做统计推断首先，从N(9.51,5.06)重新抽取10个拔靴带样本如下：从10个拔靴带样本中重新计算了正态分布的参数这样，我们就实现了建模中的参数不确定性11©2012CPCR.Allrightsreserved.主要内容12拔靴带法简介拔靴带法在准备金评估中的应用拔靴带法在Excel中的实现拔靴带法与GLM框架的关系©2012CPCR.Allrightsreserved.拔靴带法在准备金评估中的应用Bootstrap是一种统计方法，它在准备金评估中的应用方式也有多种最著名的应用是England与Verrall在1999年将拔靴带法引入到随机准备金领域中，主要是针对拟合残差引入了拔靴带法也有人将拔靴带法应用到损失进展因子上也形成一种随机性准备金方法13©2012CPCR.Allrightsreserved.针对LDF的拔靴带法举例已知累积赔款三角形如下：得到损失进展三角形如下：灰色区域的LDF是通过拔靴带法得到的一个拔靴带样本14年度123Ult11000150016001600212001600170031000140041200年度1-22-33-Ult11.51.066667121.3333331.0625131.41.066667141.41.06251©2012CPCR.Allrightsreserved.针对LDF的拔靴带法举例得到的未来赔款预测的一个拔靴带样本如下：以上仅是一个拔靴带样本，我们需要重复m次，比如10万次，得到总准备金的均值约是693，标准差约是88本质上类似于针对LDF的随机链梯法15年度123终极准备金1100015001600160002120016001700170003100014001493.3331493.33393.3333341200168017851785585Total:678.3333©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V提出的拔靴带法举例已知的实际累积赔款三角形如下：得到损失进展因子如下：其中选定值为全部年度加权平均16年度123Ult11000150016001600212001600170031000140041200年度1-22-33-Ult11.51.066667121.3333331.062531.44选定值：1.406251.0645161©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V提出的拔靴带法举例拟合的累积赔款三角形如下：17年度123Ult11068.821503.031600160021135.621596.9717003995.56140041200©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V提出的拔靴带法举例拟合的增量赔款三角形(E)如下：实际的增量赔款三角形(A)如下：18年度123Ult11068.82434.2196.97021135.62461.35103.033995.56404.4441200年度123Ult110005001000212004001003100040041200©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V提出的拔靴带法举例得到的残差三角形(e)如下：残差的算法为𝒆=𝑨−𝑬𝑬19年度123Ult1-2.10513.15730.3077-21.9104-2.8561-0.298530.1409-0.22104-©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V提出的拔靴带法举例重抽残差三角形做一个拔靴带样本重新构造一个增量三角形重构增量三角形的算法为𝑨‘=𝑬+𝒆∙𝑬20年度123Ult10.30771.9104-0.2210-0.298523.1573-0.2985-2.856130.14090.30774-0.2210年度123Ult11,078.88474.0294.79-21,242.02454.9374.0431,000.00410.6341,192.34©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V提出的拔靴带法举例把增量三角形转变为累积三角形针对这个三角形，使用标准链梯法算出准备金以上仅是一个拔靴带样本，我们需要重复m次，比如10万次，得到总准备金的均值约是689，标准差约是5221年度123Ult11,078.881,552.901,647.691,647.6921,242.021,696.961,771.0031,000.001,410.6341,192.34年度123UltRes11,078.881,552.901,647.691,647.690.0021,242.021,696.961,771.001,771.000.0031,000.001,410.631,483.921,483.9273.2841,192.341,673.311,760.241,760.24567.90LDF:1.40341.05201.0000641.18©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V提出的拔靴带法举例22©2012CPCR.Allrightsreserved.对E&V拔靴带法的说明E&V提出的拔靴带法并不是基于标准链梯法模型，因此它也不是用来预测链梯法的波动性的，这是因为拔靴带法违背了链梯法的一些基本法则：链梯法是从前往后的预测，而不是从后向前的预测链梯法中各个增量赔款是相关的，而不是相互独立的链梯法的上半个三角形是不变的，而不是随机的所以，拔靴带法准备金的期望值并不等于链梯法的值23©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V拔靴带法的ODP版本对残差三角形需要调整原残差三角形为：残差调整因子=𝟏𝟎𝟏𝟎−𝟕=1.8257调整后残差三角形为：24年度123Ult1-2.10513.15730.3077-21.9104-2.8561-0.298530.1409-0.22104-年度123Ult1-3.84345.76450.5618-23.4878-5.2146-0.545130.2572-0.40354-©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V拔靴带法的ODP版本按照前面的程序重新做拔靴带法10万次，得到总准备金的均值仍约是689，标准差变为是9525©2012CPCR.Allrightsreserved.E&V拔靴带法的ODP版本如果我们不需要知道分布，只需要知道参数方差的话，可以采用如下关系式求解ODP参数方差=原始参数方差*残差调整因子𝟐此例中，ODP参数方差=52^2*1.8257=95^226©2012CPCR.Allrightsreserved.过程方差的处理但目前得到的仅仅是参数方差，还有一部分过程方差没有在模型中体现过程方差的方差因子=原始残差三角形所有残差平方和𝟏𝟎−𝟕=26.46/3=8.82在每个拔靴带样本随机产生的增量三角形中需要基于ODP分布加入过程方差27©2012CPCR.Allrightsreserved.过程方差的处理2800.050.10.150.20.25012345678910PoissonDistribution00.050.10.150.20.25015030045