燕尾定理详细解析.题库教师版

1燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．OFEDCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：1423:::SSSSBDDCS3S1S4S2EDCBA【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有14::SSBDDC；三角形ABE与三角形EBD同高，12::SSEDEA；三角形ACE与三角形CED同高，43::SSEDEA，所以1423::SSSS；综上可得1423:::SSSSBDDC.【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA33321FEDCBAABCDEFFEDCBA【解析】方法一：连接CF，例题精讲燕尾定理2根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，1ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，3ABFS△份，3AEFEFCSS△△份，如图所标所以551212DCEFABCSS△方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS△△，11212233ADEADCABCSSS△△△，所以11ABDADESBFFES△△，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS△△△△，而211323CDEABCSS△△．所以则四边形DFEC的面积等于512．【巩固】如图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.DEFCBADEFCBADEFCBA【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF，因为BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是30，所以1103ABEABCSS△△，1152ABDABCSS△△．根据燕尾定理，12ABFCBFSAESEC△△，1ABFACFSBDSCD△△,所以17.54ABFABCSS△△，157.57.5BFDS△，所以阴影部分面积是30107.512.5．(法二)连接DE，由题目条件可得到1103ABEABCSS△△，11210223BDEBECABCSSS△△△，所以11ABEBDESAFFDS△△，1111112.5223232DEFDEAADCABCSSSS△△△△，而211032CDEABCSS△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC的面积是2200cm，E在AC上，点D在BC上，且:3:5AEEC,:2:3BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBAABCDEFFEDCBA3【解析】连接CF，根据燕尾定理，2639ABFACFSBDSDC△△，36510ABFCBFSAESEC△△,设6ABFS△份，则9ACFS△份,10BCFS△份，5459358EFCS△份，310623CDFS△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm)88DCFES【巩固】如图，已知3BDDC，2ECAE，BE与CD相交于点O,则ABC△被分成的4部分面积各占ABC△面积的几分之几？OEDCBA13.54.59211213OEDCBA【解析】连接CO,设1AEOS△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABCS△份，所以四部分按从小到大各占ABC△面积的124.5139313.59,,,30306030103020【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC△中，12CPCB，13CQCA，BQ与AP相交于点X，若ABC△的面积为6，则ABX△的面积等于．XQPABCXQPABC4411XQPCBA【解析】方法一：连接PQ．由于12CPCB，13CQCA，所以23ABQABCSS，1126BPQBCQABCSSS．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQBPQABCABCAXXPSSSS，所以4412262.455255ABXABPABCABCSSSS．方法二：连接CX设1CPXS△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)42.4ABXS△【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，2BDDC，2CEAE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【解析】连接CF，设1AEFS△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以4121AEFS△,62217ABFS△,821BDFS△,242217FDCES【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且:2:3AEEC,:1:2BDDC，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于222cm，则三角形ABC的面积．ABCDEFABCDEF2.41.62ABCDEF12【解析】连接CF,根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC△△，23ABFCBFSAESEC△△,设1BDFS△份，则2DCFS△份，2ABFS△份，4AFCS△份，241.623AEFS△份,342.423EFCS△份,如图所标,所以22.44.4EFDCS份,2349ABCS△份所以2224.4945(cm)ABCS△【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知2AC，2CD，3CB，AMBM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少？ABCDMNABCDMN【解析】连接BN．ABC△的面积为3223根据燕尾定理，::2:1ACNABNCDBD△△；同理::1:1CBNCANBMAM△△设AMN△面积为1份，则MNB△的面积也是1份，所以ANB△的面积是112份，而ACN△的面积就是224份，CBN△也是4份，这样ABC△的面积为441110份，所以AMN△的面积为31010.3．【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?xyyxABCDEFGGFEDCBA33GFEDCBA213【解析】设1DEFS△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDSS△阴影平方厘米.【例2】如图所示，在四边形ABCD中，3ABBE，3ADAF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边5形BODC的面积为________．OFEDCBA684621OFEDCBA【解析】连接,AOBD,根据燕尾定理::1:2ABOBDOSSAFFD△△,::2:1AODBODSSAEBE△△,设1BEOS△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODCAEOFSS.【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．GFEDCBAGFEDCBA【解析】连接AC、GB，设1AGCS△份，根据燕尾定理得1AGBS△份，1BGCS△份，则11126S正方形（）份，314ADCGS份，所以22126496(cm)ADCGS【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】连接BH,根据沙漏模型得:1:2BGGD,设1BHCS△份，根据燕尾定理2CHDS△份，2BHDS△份，因此122)210S正方形（份，127236BFHGS，所以712010146BFHGS(平方厘米).【例5】如图所示，在ABC△中，:3:1BEEC，D是AE的中点，那么:AFFC．FEDCBAFEDCBA【解析】连接CD．由于:1:1ABDBEDSS△△，:3:4BEDBCDSS△△，所以:3:4ABDBCDSS△△，6根据燕尾定理，::3:4ABDBCDAFFCSS△△．【巩固】在ABC中，:3:2BDDC，:3:1AEEC，求:OBOE？ABCDEOABCDEO【解析】连接OC．因为:3:2BDDC，根据燕尾定理，::3:2AOBAOCSSBDBC，即32AOBAOCSS；又:3:1AEEC，所以43AOCAOESS．则3342223AOBAOCAOEAOESSSS，所以::2:1AOBAOEOBOESS．【巩固】在ABC中，:2:1BDDC，:1:3AEEC，求:OBOE？ABCDEO【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC．连接OC．ABCDEO因为:2:1BDDC，根据燕尾定理，::2:1AOBAOCSSBDBC，即2AOBAOCSS；又:1:3AEEC，所以4AOCAOESS．则2248AOBAOCAOEAOESSSS，所以::8:1AOBAOEOBOESS．【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且13AEAB，14CFBC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则AEG与CGF的面积之和为．7ABCDEFGHABCDEFGABCDEFG【解析】(法1)如图，过F做CE的平行线交AB于H，则::1:3EHHBCFFB，所以122AEEBEH，::2AGGFAEEH，即2AGGF，所以122311033942AEGABFABCDSSS．且22313342EGHFECEC，故CGGE，则1152CGFAEGSS．所以两三角形面积之和为10515．(法2)如上右图，连接AC、BG．根据燕尾定理，::3:1ABGACGSSBFCF，::2:1BCGACGSSBEAE，而1602ABCABCDSS，所以3321ABGS，160302ABCS，2321BCGS，160203ABCS，则1103AEGABGSS，154CFGBCGSS，所以两个三角形的面积之和为15．【例7】如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOBAOCSSBDCD△△::3:412:16AOBBOCSSAECE△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOCBOCSSAFFB△△【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BDDC，:5:6AECE，求:AFFB