应用随机过程2-随机过程的基本概念

2010-9-2理学院施三支第2章随机过程的基本概念和基本类型2.1随机过程的基本概念2.2有限维分布与Kolmogorov定理2.3随机过程的基本类型2010-9-2理学院施三支2.1随机过程的基本概念一、直观背景及例电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数例2.1.1一般情况下它是一个随机变量X，并且依赖时间t，即随机变量X(t)，t[0,24]。例2.1.2研究某一商品的销售量一般情况下它是一个随机变量X，并且依赖时间t，即随机变量X(t)，t=1,2,…2010-9-2理学院施三支例2.1.3国民收入问题随着各种随机因素的影响而随机变化，一般地有其中C(t)、I(t)分别表示t年的消费和积累)()()(tItCtY2010-9-2理学院施三支二、随机过程的定义设E是随机试验，{}是它的样本空间，T是一个参数集，若对于每一个，都有随机变量与之对应，则称依赖于t的随机变量为随机过程，通常记作Tt),(tX),(tX{)(tX，Tt}或)(tX。说明参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。随机过程{)(tX，Tt}是一个二元函数X(t)的取值称为状态，状态的全体称为状态空间，记为S2010-9-2理学院施三支T离散、S离散T离散、S非离散（连续）参数T状态S分类T非离散（连续）、S离散T非离散（连续）、S非离散（连续）固定，X(t)称为样本函数或轨道，固定t，X()称为一个随机变量。2010-9-2理学院施三支2.2有限维分布与Kolmogorov定理一、随机过程的分布函数一维分布函数其分布函数为设{)(tX，Tt}是一个随机过程，对于固定的Tt1，)(1tX是一个随机变量，})({)(1111xtXPxFt，Tt1称)(11xFt为随机过程)(tX的一维分布函数。2010-9-2理学院施三支二维分布函数联合分布函数二维随机向量（)(1tX，)(2tX）Ttt),(21})(,)({),(221121,21xtXxtXPxxFtt，称为随机过程)(tX的二维分布函数。2010-9-2理学院施三支n维分布函数联合分布函数n维随机向量（)(1tX，)(2tX，…，)(ntX）),,,(21,,,21ntttxxxFn})(,)(,)({2211nnxtXxtXxtXP，2010-9-2理学院施三支有限维分布族1维，2维，…分布函数的全体：}1,,,,),,,,({2121,,,21nTtttxxxFnntttn一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表达出来。一个随机过程有限维分布函数族具有对称性和相容性。定理2.2.1(Kolmogorov存在定理)设一分布函数族满足对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),t∈T}，使得这个分布函数族恰好是X(t)的有限维分布族。2010-9-2理学院施三支联合分布函数为两个随机过程，n+m维随机向量的分布函数设)(tX和)(tY，nttt,,,21，Ttttm,,,21{)(1tX,)(2tX,…,)(ntX，)(1tY,)(2tY,…,)(mtY}nXYttF,,(1；mtt,,1；nxx,,1；myy,,1）；nnxtXxtXP)(,,)({11mmytYytY）（）（,,11}称为两个随机过程的n+m维联合分布函数2010-9-2理学院施三支相互独立如果设)(tX和)(tY，nttt,,,21，Ttttm,,,21nXYttF,,(1；mtt,,1；nxx,,1；myy,,1）则称随机过程相互独立；nXttF,,(1nxx,,1）(YFmtt,,1；myy,,1）)(tX和)(tY2010-9-2理学院施三支例2.2.1袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(试求这个随机过程的一维分布函数族。2010-9-2理学院施三支二、随机过程的数字特征1．均值函数或称为数学期望说明设随机过程{)(tX，Tt}，则)]([)(tXEtm，Tt，称为随机过程)(tX的均值函数)(tm是)(tX的所有样本函数在时刻t的函数值的平均它表示随机过程)(tX在时刻t的摆动中心2010-9-2理学院施三支2．方差函数说明随机过程{)(tX，Tt}的二阶中心矩]))()([()]([)(2tmtXEtXDtD称为随机过程)(tX的方差函数)(tD的平方根)(t)(tD均方差函数它表示)(tX在各个时刻t对于)(tm的偏离程度2010-9-2理学院施三支3．协方差函数二阶中心混合矩简称协方差函数随机过程)(tX在Ttt21,的状态)(1tX和)(2tX),(21ttK))]()())(()([(2211tmtXtmtXE称为随机过程)(tX的自协方差函数当Tttt21，有注),()(ttKtD]))()([(2tmtXE2010-9-2理学院施三支4．互协方差函数其中设)(tX和)(tY是两个随机过程，对任意Ttt21,，则),(21ttKXY)]()()][()([2211tmtYtmtXEYX称为随机过程)(tX与)(tY的互协方差函数)]([)(11tXEtmX)]([)(22tYEtmY2010-9-2理学院施三支5．相关函数简称相关函数注对任意Ttt21,)(1tX和)(2tX的二阶原点混合矩),(21ttR)]()([21tXtXE称为随机过程)(tX的自相关函数，当0)(tm时，有),(21ttR=),(21ttK2010-9-2理学院施三支6．互相关函数注对任意Ttt21,设)(tX和)(tY是两个随机过程，),(21ttRXY)]()([21tYtXE称为随机过程)(tX与)(tY的互相关函数),(21ttKXY=),(21ttRXY)()(21tmtmYX2010-9-2理学院施三支例2.2.2求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数。设随机过程tUtX2cos)(，其中U是随机变量且5)(UE，6)(UD2010-9-2理学院施三支概率结构分类独立随机过程独立增量过程马尔可夫过程平稳随机过程2.3随机过程的基本类型2010-9-2理学院施三支（1）独立随机过程简称独立随机过程。设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t，2t，…，Ttn)(1tX，)(2tX，…，)(ntX是相互独立的则称)(tX为具有独立随机变量的随机过程，2010-9-2理学院施三支（2）独立增量过程是相互独立的，设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t，2t，…，Ttn且当nntttt121时，)()(12tXtX，)()(23tXtX，…，)()(1nntXtX则称)(tX为具有独立增量的随机过程，简称独立增量过程。2010-9-2理学院施三支例2.3.1设{)(nX，,2,1,0n}是相互独立的随机变量序列，令)()(0nXiYin则{)(iY，,2,1,0i}是一个独立增量过程。2010-9-2理学院施三支（3）马尔可夫过程简称马氏过程。设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t，2t，…，Ttn且nntttt121|)((nnxtXP11)(nnxtX，…，))(11xtX=|)((nnxtXP11)(nnxtX），则称)(tX为马尔可夫过程2010-9-2理学院施三支马氏过程的特点马氏性实质上是无后效性，所以也称马氏过程为无后效过程。称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。当随机过程在时刻1nt的状态已知的条件下，它在时刻nt（1nntt）所处的状态仅与时刻1nt的状态有关，而与过程在时刻1nt以前的状态无关2010-9-2理学院施三支（4）平稳随机过程平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对“未来”有不可忽视的影响。平稳过程分为严平稳过程和（宽）平稳过程2010-9-2理学院施三支一、严平稳过程设随机过程{)(tX,Tt}，若对任意n，任意h12,,,ntttT，nttt21当ht1，ht2，…，Thtn时，有),,,,,,(2121nnxxxtttF；),,,,,,(2121nnxxxhththtF；则称为严平稳过程)(tX2010-9-2理学院施三支二、宽平稳过程设随机过程{)(tX，Tt}，如果它满足：（1）)(tX是二阶矩过程；（2）均值函数为常数，即mtXEtm)]([)(（3）相关函数),(21ttR仅依赖21tt，即)]()([),(2121tXtXEttR)(B则称为宽平稳过程，)(tX简称平稳过程随机过程{X(t)，t∈T}，若对每一t∈T，E[X2(t)]都存在，则称X(t)是二阶矩过程。二阶矩过程2010-9-2理学院施三支例2.3.2试讨论随机变量序列的平稳性。设{)(tX,Tt}是相互独立同分布的随机变量序列，其中，，，210T，且均值和方差为0)]([tXE2)]([tXD)(tX注在科学和工程中，此例中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。2010-9-2理学院施三支试讨论随机序列的平稳性。例2.3.3是在[0，1]上服从均匀分布的随机变量，其中T={1，2，…})(tX设随机序列{ttX2sin)(，Tt}，注此例中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的作业：1.P252,4,5,6*2.总结本章内容