二次函数与一元二次方程关系知识点及练习

二次函数与一元二次方程关系知识点及练习一、二次函数与一元二次方程关系1、对于二次函数cbxaxy2)0(a来说，当0y时，就得一元二次方程02cbxax)0(a，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况）①抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）(x2，0)=当△＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，x1,2=aacb24b-2；②抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点（-a2b，0）=当△=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2=-a2b③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点=当△＜0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根。二、解读二次函数与一元二次方程关系1、二次函数与一元二次方程关系，其实就是一元二次方程的根和二次函数的图象与x轴的交点横坐标之间的关系；2、若一个二次函数的图象与x轴总有交点，则其对应的一元二次方程的判别式△≥0.反之亦然；3、若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点A（x1，0）B(x2，0)，则抛物线的对称轴为直线x=2x21x，线段AB的距离=21xx=221)(xx212214)(xxxx224aacba，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。4、推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与cbxaxy2与直线bkxy（当0k时为一次函数的图像，当0k时为平行于x轴或与x轴重合的一条直线by）的交点情况.三、二次函数与一元二次方程关系应用1、若已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值m，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之亦然。2、二次函数与一元二次方程的根的关系综合应用：判断抛物线与x轴的交点情况时，只需借助对应的一元二次方程的根的判别式；3、利用二次函数图象求一元二次不等式的解集：抛物线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c＞0的解集；抛物线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c＜0的解集；4、二次函数与直线的综合应用：在同一坐标平面内，确定二次函数图象与一次函数图象交点问题，通常划归为求由对应的解析式组成的方程组的解的情况；当△＞0时，这两函数有两个交点；当△=0时，这两函数有一个交点；当△＜0时，这两函数没有交点；练习一、填空题1.抛物线2283yxx与x轴有个交点，因为其判别式24bac0，相应二次方程23280xx的根的情况为．2.函数22ymxxm（m是常数）的图像与x轴的交点个数为．3.二次函数269yxx的图像与x轴的交点坐标为．4.关于x的方程25mxmxm有两个相等的实数根，则相应二次函数25ymxmxm与x轴必然相交于点，此时m．5.函数2(2)7(5)ykxxk的图像与x轴只有一个交点，则交点的横坐标0x．二、解答题1、已知P(-3，m)和Q(1，m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点（1）求b的值（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，说明理由（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图形向上平移k(k是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值2、已知函数22yxmxm．（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个不同交点；（2）若函数y有最小值54，求函数表达式．3、已知二次函数2224yxmxm．（1）求证：当0m时，二次函数的图像与x轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x轴交点为A，B，顶点为C，且△ABC的面积为42，求此二次函数的函数表达式．4、已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0＜x1＜1,1＜x2＜2，求k的取值范围5、已知抛物线C经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x-3（1）求抛物线C的解析式（2）证明抛物线C与直线l无交点（3）若与l的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求P点的坐标