线性系统理论课件C4

1概述卡尔曼在20世纪60年代初，首先提出和研究了能控性和能观测性这两个概念；对系统控制和系统估计问题的研究具有重要性；本章以线性系统为对象，首先给出能控性和能观测性严格的数学定义；随后导出判别线性系统的能控性和能观测性的各种准则。返回24.1能控性和能观测性的定义对能控性和能观测性的直观讨论研究“黑箱”内部状态是否可由输入影响和是否可由输出反映例1，例23能控性定义定义4.1,4.2系统Σ，对初始时刻t0∈J的一个非零初始状态x0，存在t1∈J，t1t0，和一个无约束容许控制u(t)，t∈[t0，t1]，使状态由x0转移到t1时x(t1)=0，则称此x0是在t0时刻为能控的。如果从x(t0)=0转移到x(t1)=xf，则称此xf是在t0时刻为能达的。JtutBxtAx,)()(:线性时变系统定义4.3系统Σ，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0∈J)时刻为能控/能达的，则称系统Σ在时刻t0是完全能控/能达的。4定义4.4系统Σ，取定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能控/能达的，则称系统Σ在时刻t0是不完全能控/能达的。无约束控制：输入的每个分量的幅值不加以限制即可取为任意大到所要求的值。约束控制：输入的每个分量均是在J上平方可积的。定义4.5系统Σ对任意初始时刻t0∈J均为完全能控/能达，即系统的能控/能达性与初始时刻t0∈J的选取无关，则称系统Σ是一致完全能控/能达的。5能观测性定义)()()()(),()(),()()(000tutDduBttCxtttCtytt)()()()(),()()()(0tutDduBttCtytytt令00),()()(xtttCty也可写成xtCyJttxtxxtAx)(,,)(,)(:000所谓能观测性即是研究x0的可由的完全估计性，等价于研究u=0时y来估计x0的可能性。y6定义4.6系统Σ，对初始时刻t0∈J的一个非零初始状态x0，存在一个有限时刻t1∈J，t1t0，使对所有t∈[t0，t1]有y(t)=0，则称此x0在t0时刻是不能观测的。定义4.7系统Σ，如果状态空间中的所有非零状态都不是时刻t0(t0∈J)不能观测状态，则称系统Σ在时刻t0是完全能观测的。如果对任意初始时刻t0∈J均为完全能观测，则称系统Σ是一致完全能观测的。定义4.8系统Σ，取定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能观测的，则称系统Σ在时刻t0是不完全能观测的。返回74.2连续时间线性时不变系统的能控性判据格拉姆矩阵判据0,)(,00txtxBuAxx方程证充分性：Wc[0,t1]为非奇异，欲证系统完全能控。构造法],0[,],0[)(1011ttxtWeBtuctATTnAtAtccAtAttttAAtRxxexextWtWexedttBuexetx000011100)(01,],0[],0[)()(11111110结论4.1[格拉姆矩阵判据]线性时不变系统完全能控的充要条件是，存在t10，使格拉姆(Gram)矩阵为非奇异。101],0[ttATAtcdteBBetWT8必要性：系统完全能控，欲证Wc[0,t1]为非奇异。反证法，设Wc[0,t1]为奇异，则有非零，使0x0],0[010xtWxcT11020000010],0[0ttATttATAtTcTdtxeBdtxeBBexxtWxTT],0[,010ttxeBtATT系统完全能控，对非零，有0x111001)()(0tAtAtAtdttBueexetx100)(tAtdttBuex1100000020)()(ttATTTtAtTdtxeBtuxdttBuexxxT00020xx即矛盾，原题得证9结论4.3[PBH秩判据]线性时不变系统完全能控的充要条件是A的所有特征值li(i=1,2,…,n)，成立rank[liI–A,B]=n,i=1,2,…,n或等价rank[sI–A,B]=n,s∈R结论4.4[PBH特征向量判据]线性时不变系统完全能控的充要条件是A不能有与B所有列相正交的非零左特征向量，即A的任一特征值li，使同时满足aTAliaT,aTB=0的左特征向量aT0。例结论4.2[秩判据]线性时不变系统完全能控的充要条件rank[BAB…An-1B]=nn为A的维数，Qc=rank[B…An-1B]为系统的能控性判别阵10结论4.5[约当规范形判据]线性时不变系统特征值两两相异时，完全能控的充要条件是约当规范形中，不包含元素全为零的行。结论4.6[能控性约当规范形判据]特征值有重根li(si重)，i=1,…,l，且(s1+…+sl)=n，完全能控的充要条件是约当规范形uBxxnlll21uBxAxˆˆˆˆB11其中lpnlnnBBBJJAˆˆˆ,ˆ1)(1)(iiiiiiipiiiiBBBJJJaaˆˆˆ,1)(1)(rikikikprikiirrikbbbBJikikikˆˆˆˆ,1121)()(ll12而(ri1+ri2+…+)=i，由的最后一行所组成的矩阵对i=1,2,…,l均为行线性无关。iira),,1(ˆiikkBaiririribbbaˆˆˆ21134.3连续时间线性时不变系统的能观测性判据格拉姆矩阵判据CxytxxAxx0,)0(,0方程结论4.12[格拉姆矩阵判据]线性时不变系统完全能观测的充要条件是，存在t10，使格拉姆矩阵为非奇异。101],0[tAtTtAodtCeCetWT证明：充分性构造法必要性反证法类似能控性证明14结论4.13[秩判据]线性时不变系统完全能观测的充要条件是，或rank[CTATCT…(AT)n-1CT]=nn为A的维数，Qo=[CTATCT…(AT)n-1CT]为系统的能观测性判别阵。nCACACn1rank15结论4.14[PBH秩判据]线性时不变系统完全能观测的充要条件是A的所有特征值li(i=1,2,…,n)，成立或等价也即(sI-A)和C是右互质的。ninAICi,,2,1,ranklCsnAsIC,rank结论4.15[PBH特征向量判据]线性时不变系统完全能观测的充要条件是A没有与C所有行相正交的非零右特征向量，即A的任一特征值li，使同时满足的特征向量0。0,aalaCAia16结论4.16[约当规范形判据]线性时不变系统特征值两两相异时，完全能观测的充要条件是约当规范形中，不包含元素全为零的列。结论4.17特征值有重根li(i重)，i=1,…,l，且(1+…+l)=n，完全能观测的充要条件是约当规范形xCyxxnlll21xCyxAxˆˆ,ˆˆˆC17其中lnqlnnCCCCJJAˆ,,ˆ,ˆˆ,ˆ21)(1)(iiiiiiiiqiiiiCCCCJJJaaˆ,,ˆ,ˆˆ,21)(1)(rikikikrqikiirrikcccCJikikikˆ,,ˆ,ˆˆ,1121)()(ll18而(ri1+ri2+…+)=i，由的第一列所组成的矩阵对i=1,2,…,l均为列线性无关。iira),,1(ˆiikkCaiiiiccca12111ˆ,,ˆ,ˆ194.4连续时间线性时变系统的能控性和能观测性判据JttxtxutBxtAx000,,)(,)()(方程结论4.23[格拉姆矩阵判据]线性时变系统在时刻t0完全能控的充要条件是存在t1∈J，t1t0，使格拉姆矩阵为非奇异。10),()()(),(],[0010ttTTcdttttBtBttttW能控性判据结论4.24[秩判据]线性时变系统在时刻t0完全能控的充分条件是，存在t1∈J，t1t0，使成立rank[M0(t1)M1(t1)…Mn-1(t1)]=n其中20)()()()()()()()()()()()()()(2211120010tMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtBtMnnn证明：略21能观测性判据xtCyJttxtxxtAx)(,,)(,)(000结论4.25[格拉姆矩阵判据]线性时变系统在时刻t0完全能观测的充要条件是存在t1∈J，t1t0，使格拉姆矩阵为非奇异。10),()()(),(],[0010ttTTodttttCtCttttW22结论4.26[秩判据]线性时变系统在时刻t0完全能观测的充分条件是，存在t1∈J，t1t0，使成立其中ntNtNn)()(rank1110)()()()()()()()()()(2210010tNdtdtAtNtNtNdtdtAtNtNtCtNnnn返回234.5离散时间线性系统的能控性和能观测性判据时变系统的能控性和能达性判据定义线性时变离散系统Σ，对初始时刻h∈Jk和状态空间所有非零状态x0，存在l∈Jk，lh，和对应的控制u(k)，使得x(l)=0，则称系统在时刻h为完全能控。如果对初始时刻h∈Jk和初始状态x(h)=0，存在l∈Jk，lh，和相应的控制u(k)，使得x(l)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻h为完全能达。kJkkukHkxkGkx),()()()()1(:24结论4.28[能控性格拉姆矩阵判据]线性时变离散系统，系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非奇异，则系统在时刻h∈Jk完全能控的充要条件是，存在l∈Jk，lh，使格拉姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G(k)奇异，则上述格拉姆矩阵非奇异为系统完全能空的充分条件。1)1,()()()1,(],[lhkTTcklkHkHkllhW结论4.27[能达性格拉姆矩阵判据]线性时变离散系统在时刻h∈Jk，完全能达的充要条件是，存在l∈Jk，lh，使格拉姆矩阵为非奇异。1)1,()()()1,(],[lhkTTcklkHkHkllhW25结论4.29线性离散系统Σ能控性和能达性为等价的充要条件是其系统矩阵G(k)对所有k∈[h，l-1]为非奇异。结论4.30如果离散时间系统是相应的连续时间系统的时间离散化模型，则其能控性和能达性必是等价。26时不变系统的能控性和能达性判据,1,0),()()1(:kkHukGxkx结论4.31[能达性格拉姆矩阵判据]线性时不变离散系统完全能达的充要条件是，存在时刻l0，使格拉姆矩阵为非奇异。10)(],0[lkkTTkcGHHGlW27结论4.32[能控性格拉姆矩阵判据]线性时不变离散系统，系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充要条件是，存在时刻l0，使格拉姆矩阵为非奇异。10)(],0[lkkTTkcGHHGlW结论4.33[能达性秩判据]线性时不变离散系统完全能达的充要条件是rankQkc=rank[HGH…Gn-1H]=n28结论4.35[最小拍控制]考虑单输入离散时不变系统x(k+1)=Gx(k)+hu(k)，k=0,1,…G为非奇异，系统为完全能控时，可构造如下控制使在n步内将任意状态x(0)=x0转移到状态空间的原点。0121],,,[)1()0(xhGhGhGnuun结论4.34[能控性秩判据]线性时不变离散系统