模糊集的基本概念

模糊集的基本概念为什么需要模糊理论•现实生活中充满了不确定、含糊的信息–很难被翻译成精确的正规、理论化的定义–虽然可以被看成是一种缺点，但是却得到了成功的应用–真/假——排中律“Law-of-the-excluded-middle”?假真模糊概念秃子悖论:天下所有的人都是秃子设头发根数nn=1显然若n=k为秃子n=k+1亦为秃子模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨等。模糊概念共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。为什么需要模糊理论•处理现实世界中的不精确信息–早期尝试：多值逻辑一种非经典的逻辑系统。在经典逻辑中，每一个命题皆取真假二值之一为值，每一命题或者真或者假。但实际上，一个命题可以不是二值的。命题可以有三值，推而广之，还可以有四值，五值。因此，对每一自然数n，有n值，以至于无穷多值。研究这类命题之间逻辑关系的理论，即为多值逻辑。–1965LotfiZadeh无穷值逻辑=模糊集–排中律就可以表示成一个概率论的特例未知假真•产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)•基本思想用属于程度代替属于或不属于。描述差异的中间过渡。是精确性对模糊性的一种逼近。某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.首次成功的用数学方法描述了模糊概念。模糊数学的产生与基本思想•提供了一种解释排中律的方法•不再有区域是含糊的或被忽略了的为什么需要模糊理论假真什么是模糊理论•建立在模糊集的基础上•模糊集为刻画不明确信息提供了方法•可以运用人的语言来描述•在日常生活中，我们遇到的概念不外乎两类。一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。例如人、自然数、正方形等。•要么是人，要么不是人。•要么是自然数，要么不是自然数。•要么是正方形，要么不是正方形。•另一类对象概念从属的界限是模糊的，随判断人的思维而定。•例如:好不好?快不快？快乐的很，好得很等等。•在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。对于这类模糊现象，过去已有的数学模型难以适用，需要形成新的理论和方法，即在数学和模糊现象之间架起一座桥梁。它，就是我们要讲的“模糊数学”。课程认识用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：数学经典（精确）数学确定性不确定性随机性模糊性随机数学模糊数学一、集合二、关系模糊理论的数学基础普通集合与普通关系集合的有关概念集合的运算集合运算的性质映射与扩张集合的特征函数直积关系的概念关系的运算特征关系等价关系与划分偏序集格概念、内涵、外延•每一个概念都有一定的外延和内涵•概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围•概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和一、集合•概念、内涵、外延•概念：青菜•内涵：一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用•外延：韭菜、芹菜、芥兰、白菜、葱等等一、集合概念与集合•概念可以用集合来表示•我们讨论具体问题时，要有论域（议题限制在一定范围内）•例如：–在论域“人”上，讨论概念“男子”一、集合概念与集合•从集合“人”中挑出所有男子，构成一个子集A•A是概念“男子”的–外延–是概念“男子”的集合表现•概念可以用集合来表示一、集合经典集合的回顾•十九世纪末，康托（Cantor）建立了经典集合论。•经典集合论是现代数学各个分支的基础，其本身也是一门严格体系的数学分支。•我们可以从常见事物中，抽象出集合这一概念：•具有某种特定属性的，彼此可以区别的对象的全体，叫做集合。•每个集合里通常包含有若干个体，集合里的每个个体，成为集合中的一个元素。•同一集合中的元素都具有某种共性，该集合被讨论的全体对象，称为论域。一、集合:()universe论域讨论范围U称为论域或全集相等:空集:不含任何元素的集合,记为子集:ABBAABBABABxAx或记为包含或于包含的子集，或是则称若.,,真子集:,ABABABABAB且与不相等，称是的真子集，或真包含于记ABBA且，与相等，且ABA=B则称1.集合的有关概念幂集:U的所有子集的集合称为U的幂集,记为P(U)P(U){A|AU}U{x,y,z}例如：P(U){{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},U,}定理:如果有限集合U有n个元素，则其幂集P(U)有2n个元素。例：P()={}P(P())={,{}}1.集合的有关概念注意点：•和•，•A={},则有A,A，{}A,{}A例题：A={a,{b},c}则aA,bA,cA{a}A,{b}A,{c}AA,BP(U)(){|}unionABxxAxB并或(int){|}ersectionABxxAxB交且}|{)(AxxAcomplementc余表“或”表“且”表“非”ABxxA,xB差2.集合的运算ABEA∩B=ABEA∩BA⊂BABEA∪BABE2.集合的运算A-BAE~A2.集合的运算(1)幂等律(idempotence)AAAAA(2)交换律(commutativity)ABBAABBA(3)结合律(associativity)A(BC)(AB)C(AB)CA(BC)(4)吸收律(absorptionlaws)A(AB)AA(AB)A３.集合运算的性质(5)分配律(distributivity)()()(()()())ABCABACABCABAC(6)存在最大最小元AU(7)还原律(involution)AAcc)(３.集合运算的性质(8)DeMorgan德.摩根律（对偶律）()()ccccccABABABAB(9)补余律(complementation)排中律矛盾律ccAAU()AA()推广：{|,},iiiIAxiIxA{|,}iiiIAxiIxAiAP(U)(iI)分配律、对偶律等可推广３.集合运算的性质•集合A＝{1，2，…，n}，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作cardA＝n也可以记为｜A｜＝n，空集的基数是即｜｜＝0．4.集合中元素的计数有穷集、无穷集•定义:设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得｜A｜＝cardA＝n，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。•例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集。（1）映射(mapping):实际是函数概念的推广xX,记号：af:XYxyf(x)例1：定义对应法则：设},,,{},3,2,1{cbaBA12:1,2,3:1,2,3fabcfaaaaaaaaa的映射。到均为从则BAff21,X,Y设都是集合，若存在对应关系f,使都有唯一的与之相对应，则称f是映X入Y的映射。yY读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。5.映射与扩张（2）特殊映射单射(injection)：)()(2121xfxfxx2121)()(xxxfxf或:,fXY且对任意12,,xxX也称f为一一的。满射(surjection)：:,fXY且对任意,yY都有,xX使得(),yfx则称f为满射。也称f映X到Y上（映上）。f为从X到Y的满射当且仅当f(X)=Y.5.映射与扩张AP(U),A1xAxU,(x)0xA.)(的程度属于可理解为AxxAABAB(i)xX,(x)(x)(x)证：()1ABxxABBxAx或1)(1)(xxBA或ABsup((x),(x))1取大运算,如2∨3=3ABAB(x)(x)(x)故称集合A的特征函数。6.集合的特征函数例题:[2,8],[3,5],1,[2,8],1,[3,5],()()0,[2,8],0,[3,5],ABABxxxxxxxx1,[2,8],max{(),()}0,[2,8],ABxxxxxx1,[2,8][2,8],()0,[2,8]ABxABxxx则则()max{(),()}ABABxxxxxx6.集合的特征函数类似可得：ABAB(ii)xX,(x)(x)(x))(1)(,)(xxXxiiiAAc)()(,)(xxXxBAivBA证：.BA先设.)()(显然xxBAAxxA则若,1)(,0)(xA若Bx1)(xB)()(xxBA取小运算,如2∧3=26.集合的特征函数,()max()AiiiIAiIxXxx,()min()iiiIAAiIxXxx)()(,xxxBA反之，设1)(,xAxA则若BxxB即从而,1)(BA于是，)()(,)(xxXxBAvBA推广：6.集合的特征函数–定义：设A和B是任意两个集合，用A中的元素为第一元素,B中的元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积，也称集合A和B的直乘积，记做A×B–一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B，规定A×B＝{x,yxA,yB}，不能写作B×A。1.直积(Descartesproduct)n阶笛卡儿积将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合二、关系1.直积(Descartesproduct)1212{(,,,)|}nniiAAAxxxxAKK()(1,2,,)iiAPXinK称为的卡氏积nAAA,,,21例1}3,2,1{},,{BbaA设)}3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,{(bbbaaaBA则)},3(),,2(),,1(),,3(),,2(),,1{(bbbaaaAB例2R表示实数集，维欧氏空间为即为实平面，则个nRRRRRn二、关系例3设集合A={a,b},B={1,2,3},C={d},求A×B×C，B×A。解:先计算A×B＝{{a,1},{a,2},{a,3},{{b,1},{b,2},{b,3}}A×B×C＝{{a,1},{a,2},{a,3},{{b,1},{b,2},{b,3}}×{d}＝{{a,1},d,{a,2},d,{a,3},d,{b,1},d,{b,2},d,{b,3},d}B×A＝{1,a,2,a,3,a,1,b,2,b,3,b}例4设集合A＝{1,2},求A×P(A)。解:P(A)={,{1},{2},{1,2}}A×P(A)＝{1,2}×{,{1},}{2},{1,2}={1,,2,,1,{1},2,{1},1,{2},2,{2},1,{1,2},2,{1,2}}1.直积B,ABBA,(,,)ABBAABAB注意：A或(1)(2)(3)()(),(,,)ABCABCABC直积不适合交换律和结合律例1设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅客，所以一共可住2n个旅客，在旅馆内，旅客与房间有一定关系，用R表示“某旅客住在某房间”这种关系。设n=3表示旅馆共有3个房间,分别记以1,2,3可住6个旅客分别记以a,b,c,d,e,f,这些旅客住的房间如右下图所示123abcdef满足R的所有关系可看成是一个有序偶的集合，这个集合可叫RR={a,1,b,1,c,2,d,2,e,3,f,3}若令A={a,b,c,d,e,