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1/51．椭圆的定义：平面内与两个定点12FF，的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①22221(0)xyabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．②22221(0)yxabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)xyabab研究）：⑴范围：axa≤≤，byb≤≤；⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212AABB，，，；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12AA；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12BB．⑸椭圆的离心率：cea，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭圆越扁；反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx4．直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0fxy，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0fxy，，由0()0AxByCfxy，消去y（或消去x）得：20axbxc．若0a，24bac，0相交；0相离；0相切．若0a，得到一个一次方程：①C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；②C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行．板块二.直线与双曲线2/5因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则弦长公式为2212121||11ABkxxyyk．两根差公式：如果12xx，满足一元二次方程：20axbxc，则2221212124()44bcbacxxxxxxaaaa（0）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】若直线2ykx与双曲线226xy的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______【例2】过双曲线22112xy的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若||4AB，则这样的直线有_____条【例3】过点(02)，与双曲线221916xy有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______【例4】直线1yx与双曲线22123xy相交于两点A、B，则AB=_________．【例5】若直线1ykx与双曲线224xy没有公共点，求k的取值范围．【例6】若直线1ykx与双曲线224xy有且只有一个公共点，求k的的值．【例7】若直线1ykx与双曲线224xy有两个相异公共点，求k的取值范围．【例8】直线1ykx与双曲线224xy的一支有两个相异公共点，求k的取值范围．【例9】若直线1ykx与双曲线224xy的两支各有一个公共点，求k的取值范围．【例10】若直线1ykx与双曲线224xy的右支有两个相异公共点，求k的取值范围．【例11】已知不论b取何实数，直线ykxb与双曲线2221xy总有公共点，求实数k的取值范围．【例12】直线1yax与双曲线2231xy交于A、B两点．①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？典例分析3/5【例13】已知直线10kxy与双曲线2212xy相交于两个不同点A、B．①求k的取值范围；②若x轴上的点(30)M，到A、B两点的距离相等，求k的值．【例14】已知直线1ykx与双曲线224xy，记双曲线的右顶点为A，是否存在实数k，使得直线与双曲线的右支交于,PQ两点，且0PAQA，若存在，求出k值：若不存在，请说明理由．【例15】已知点(20)M，，(20)N，，动点P满足条件22PMPN，记动点P的轨迹为C．⑴求C的方程；⑵若A、B是曲线C上不同的两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值．【例16】直线:1lykx与双曲线22:21Cxy的右支交不同的A，B两点，⑴求实数k取值范围；⑵是否存在实数k，使得以线段AB直径的圆经过双曲线的右焦点．若存在，求出k值：若不存在，请说明理由．【例17】双曲线C的中心在原点，右焦点为23,03F，渐近线方程为3yx．⑴求双曲线C的方程；⑵设直线l：1ykx与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．【例18】已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45的直线被双曲线截得的弦MN的长为6．⑴求此双曲线的方程；⑵若直线:lykxm与该双曲线交于两个不同点A、B，且以线段AB为直径的圆过原点，求定点(01)Q，到直线l的距离d的最大值，并求此时直线l的方程．【例19】在PAB中，已知60A，、60B，，动点P满足4PAPB．⑴求动点P的轨迹方程；⑵设点20M，，20N，，过点N作直线l垂直AB，且l与直线MP交于点Q，试在x轴上确定一点T，使得PNQT；⑶在⑵的条件下，设点Q关于x轴的对称点为R，求OPOR的值．【例20】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(20)，，右顶点为(30)，．⑴求双曲线C的方程；⑵若直线:2lykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OAOB（其中O为原点），求k的取值范围．【例21】已知双曲线22:12xCy，设过点320A，的直线l的方向向量1ek，．⑴当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；⑵证明：当k22时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为___________________________________________________________________________________________________________________________//////○//////○//////○密○封○装○订○线○//////○//////○//////密封线内不要答题4/56．【例22】已知双曲线C的方程为2222100yxabab，，离心率52e，顶点到渐近线的距离为255．⑴求双曲线C的方程；⑵如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若APPB，123，，求AOB面积的取值范围．BPAyxO【例23】已知以原点O为中心，50F，为右焦点的双曲线C的离心率52e．⑴求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；⑵如图，已知过点11Mxy，的直线111:44lxxyy与过点22Nxy，（其中2xx）的直线222:44lxxyy的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求OGH△的面积．EOyxHGMNl2l1【例24】已知动圆P过点50N，并且与圆22:516Mxy相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．⑴求轨迹W的方程；⑵设直线l过点(0)m，(2)m且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l的斜率k的取值范围；⑶在⑵的条件下，若0DADB，证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标．【例25】已知点100()Pxy，为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接2FA并延长交y轴于2P．⑴求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程；5/5⑵设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点111(0)Qxyy（，），直线QB，QD分别交y轴于MN，两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．（焦点在x轴上的标准双曲线的准线方程为2axc）F2F1P2P1PAyxO【例26】已知双曲线2222:100xyCabab，的离心率为3，右准线方程为33x．⑴求双曲线2的方程；⑵设直线l是圆22:2Oxy上动点00000Pxyxy，处的切线，l与双曲线C交于不同的两点AB，，证明AOB的大小为定值．