最新-高中数学-直线与圆锥曲线-板块三-直线与抛物线完整讲义(学生版)-精品

学而思高中完整讲义：直线.板块五.直线中的对称问题.学生版1．椭圆的定义：平面内与两个定点12FF，的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①22221(0)xyabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．②22221(0)yxabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)xyabab研究）：⑴范围：axa≤≤，byb≤≤；⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212AABB，，，；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12AA；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12BB．⑸椭圆的离心率：cea，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭圆越扁；反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx4．直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0fxy，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0fxy，，由0()0AxByCfxy，消去y（或消去x）得：20axbxc．若0a，24bac，0相交；0相离；0相切．若0a，得到一个一次方程：①C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；②C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则弦长公式为2212121||11ABkxxyyk．两根差公式：如果12xx，满足一元二次方程：20axbxc，则2221212124()44bcbacxxxxxxaaaa（0）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】已知抛物线C的方程为212xy，过点(0,1)A和点(,3)Bt的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．(,1)(1,)B．22,,22C．(,22)(22,)D．(,2)(2,)【例2】点P在直线:1lyx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于A，B两点，且PAAB，则称点P为“A点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“A点”B．直线l上仅有有限个点是“A点”C．直线l上的所有点都不是“A点”D．直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A点”【例3】如图抛物线1C：22ypx和圆2C：22224ppxy，其中0p，直线l经过1C的焦点，依次交1C，2C于,,,ABCD四点，则ABCD的值为典例分析（）A．24pB．23pC．22pD．2pODCBAyx【例4】斜率为2的直线与圆锥曲线交于1122()()AxyBxy，，，两点，若弦长25AB，则12yy_【例5】抛物线21yxmx与直线0xy有两个不同的交点，则实数m的范围是_____________．【例6】若直线2ykx与抛物线28yx交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，则AB______．【例7】已知抛物线24yx的一条弦AB，11Axy，，22Bxy，，AB所在的直线与y轴交于点02，，则1211yy．【例8】过点(24)，作直线与抛物线28yx只有一个公共点，这样的直线有_______条【例9】对于抛物线C：24yx，我们称满足2004yx的点00()Mxy，在抛物线的内部，若点00()Mxy，在抛物线的内部，则直线l：002()yyxx与抛物线C的位置关系是_______【例10】设抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______．【例11】若曲线2||1yx与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是．【例12】过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于AB，两点，若线段AB的长为8，则p_______．【例13】已知抛物线22xpy（p为常数，0p）上不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程2640xxq（q为常数）的两个根，则直线AB的方程为_________________．【例14】抛物线212yx截直线21yx所得弦长12AA的中点坐标为_______，弦长12AA为______．【例15】已知抛物线22(0)ypxp，过定点(0)Mp，作一弦PQ，则2211MPMQ_______．【例16】已知抛物线22(0)ypxp过点A(14)，，⑴求抛物线的焦点坐标与准线方程；⑵直线m：2yx与抛物线交于两点MN，，求线段MN的中点坐标及MN的值．【例17】⑴设抛物线24yx被直线2yxk截得的弦长为35，求k值．⑵以⑴中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．【例18】已知点Q到定点(,0)p（0p）与它到定直线xp的距离相等，⑴求动点Q的轨迹方程；⑵设过点(30)Ap，的直线与Q的轨迹交于E、F两点，设(30)Ap，，当直线AE与AF的斜率都存在时，求证直线AE、AF的斜率之和为0．【例19】在平面直角坐标系xOy中，过抛物线22(0)xpyp的焦点F作直线与抛物线相交于AB，两点．若点N是点F关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值．【例20】过抛物线22(0)ypxp的对称轴上的定点(0)(0)Mmm，作直线AB与抛物线相交于A、B两点，若点N为定直线l：xm上的任意一点，试证明：三条直线AN、MN、BN的斜率成等差数列．【例21】已知抛物线22(0)ypxp．过动点(0)Ma，且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B．若2ABp≤，求a的取值范围．【例22】已知曲线C为顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线，又点(21)M，到抛物线C的准线的距离为94，⑴求抛物线C的方程；⑵证明：过点M的任意一条直线il与抛物线恒有公共点；⑶若⑵中的直线(i1234)il，，，分别与抛物线C交于上下两点1B，1A，2B，2A，3B，3A，4B，4A，又点1A，2A，3A，4A的纵坐标依次成公差不为0的等差数列，试分析1414AMAMMBMB与3223AMAMMBMB的大小关系．【例23】已知抛物线2yx和圆22(7)5xy，过点(0)Pa，作直线l交抛物线于A、B，交圆于CD，（自下而上依次为BDCA，，，），且ACBD，求实数a的取值范围．【例24】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点(10)F，的距离减去它到y轴距离的差是1．⑴求曲线C的方程；⑵是否存在正数m，对于过点(0)Mm，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0FAFB?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【例25】已知(30)H，，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足302HPPMPMMQ，，⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；⑵过点(10)T，作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点0(0)Ex，，使得ABE是等边三角形，求0x的值．【例26】已知12,FF分别是椭圆22143xy的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以2F为焦点的抛物线，自点1F引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M．设11FPFQ．⑴求曲线C的方程；⑵证明：22FMFQ；⑶若[23]，，求||PQ的取值范围．【例27】已知抛物线24yx，点(1,0)M关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于,AB两点．⑴证明：直线,NANB的斜率互为相反数；⑵求ANB面积的最小值；⑶当点M的坐标为(,0)(0mm，且1)m．根据⑴⑵推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NANB的斜率是否互为相反数？②ANB△面积的最小值是多少？【例28】过抛物线22(0)ypxp的对称轴上一点00Aaa，的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线:lxa作垂线，垂足分别为1M、1N．⑴当2pa时，求证：1AM⊥1AN；⑵记1AMM、11AMN、1ANN的面积分别为1S、2S、3S，是否存在，使得对任意的0a，都有2213SSS成立．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【例29】已知曲线C是到点1328P，和到直线58y距离相等的点的轨迹．l是过点10Q，的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MAl，MBx轴（如图）．⑴求曲线C的方程；⑵求出直线l的方程，使得2QBQA为常数．lyxQOBAM【例30】已知抛物线C：24yx，点(0)Mm，在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交A、B两点，O为坐标原点．⑴若1m，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；⑵若存在直线l使得||AM，||OM，||MB成等比数列，求实数m的取值范围．【例31】已知抛物线24Cyx∶的焦点为F，过点(10)K，的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．⑴证明：点F在直线BD上；⑵设89FAFB，求BDK△的内切圆M的方程．【例32】已知抛物线22yx及定点(11)(10)AB，，，，M是抛物线上的点，设直线AMBM，与抛物线的另一交点分别为12MM，．求证：当点M在抛物线上变动时（只要12MM，存在且1M与2M是不同两点），直线12MM恒过一定点，并求出定点的坐标【例33】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线24yx相交于不同的，AB两点．⑴如果直线l过抛物线的焦点，求OAOB的值；⑵如果4OAOB证明直线l必过一定点，并求出该定点．【例34】在平面直角坐标系xoy中，设点(10)，F，直线:1lx，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl．⑴求动点Q的轨迹的方程；⑵记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点(30)，R．-11yxOFRQP【例35】已知：O为坐标原点，点F、T、M、1P满足(10)OF，，(1)OTt，，FMMT，1PMFT，1PTOF∥．⑴当t变化时，求点1P的轨迹方程；⑵若2P是轨迹上不同与1P的另一点，且存在非零实数，使得12FPFP，求证：12111FPFP．精品推荐强力推荐值得拥有