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0/71．椭圆的定义：平面内与两个定点12FF，的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①22221(0)xyabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．②22221(0)yxabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)xyabab研究）：⑴范围：axa≤≤，byb≤≤；⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212AABB，，，；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12AA；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12BB．⑸椭圆的离心率：cea，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭圆越扁；反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx4．直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0fxy，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0fxy，，由0()0AxByCfxy，消去y（或消去x）得：20axbxc．若0a，24bac，0相交；0相离；0相切．若0a，得到一个一次方程：①C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；②C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行．板块一.直线与椭圆(1)1/7因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则弦长公式为2212121||11ABkxxyyk．两根差公式：如果12xx，满足一元二次方程：20axbxc，则2221212124()44bcbacxxxxxxaaaa（0）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】直线2ykx与椭圆2213xy交于不同两点A和B，且1OAOB（其中O为坐标原点），求k的值．【例2】在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和Q．⑴求k的取值范围；⑵设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB，，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【例3】已知1m，直线2:02mlxmy，椭圆222:1xCym，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；⑵设直线l与椭圆C交于A，B两点，12AFF△，12BFF△的重心分别为G，H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．(第21题)OxyBA典例分析2/7【例4】已知椭圆222210xyabab短轴的一个端点0,3D，离心率12e．过D作直线l与椭圆交于另一点M，与x轴交于点A（不同于原点O），点M关于x轴的对称点为N，直线DN交x轴于点B．⑴求椭圆的方程；⑵求OAOB的值．yxDMNBAO【例5】已知椭圆中心在原点，一个焦点为1(022)F，，且离心率e满足：24e33，，成等比数列．⑴求椭圆方程；⑵是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线12x平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．【例6】直线ykxb与椭圆2214xy交于A、B两点，记AOB的面积为S，⑴求在001kb，的条件下，S的最大值；⑵当2AB，1S时，求直线AB的方程．【例7】已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点(23,0)A是其左顶点，点C在椭圆上且0,||||ACCOACCO．⑴求椭圆的方程；⑵若平行于CO的直线l和椭圆交于,MN两个不同点，求CMN△面积的最大值，并求此时直线l的方程．【例8】如图，点A是椭圆22221(0)xyabab短轴的下端点．过A作斜率为1的直线交椭圆于P，点B在y轴上，且BPx∥轴，9ABAP．⑴若B点坐标为(01)，，求椭圆方程；⑵若B点坐标为(0)t，，求t的取值范围．3/7PAByxO【例9】已知椭圆C的焦点是10,3F，20,3F，点P在椭圆上且满足124PFPF．⑴求椭圆C的标准方程；⑵设直线:220lxy与椭圆C的交点为A，B．ⅰ）求使PAB的面积为12的点P的个数；ⅱ）设M为椭圆上任一点，O为坐标原点，(,)OMOAOBR，求22的值．【例10】已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63．⑴若原点到直线0xyb的距离为2，求椭圆的方程；⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45的直线l和椭圆交于,AB两点．i）当||3AB，求b的值；ii）对于椭圆上任一点M，若OMOAOB，求实数,满足的关系式．【例11】已知椭圆2222:10xyMabab的左右焦点分别为122,0,2,0FF．在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标3,1，AB所在直线的斜率为33．⑴求椭圆M的方程；⑵当ABC的面积最大时，求直线AB的方程．OyxF2F1CBA【例12】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为1F，2F，且12||2FF，点31,2在椭圆C上．4/7⑴求椭圆C的方程；⑵过1F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且2AFB的面积为1227，求以2F为圆心且与直线l相切的圆的方程．【例13】已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点31,2在该椭圆上．⑴求椭圆C的方程；⑵过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若AOB的面积为627，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．【例14】椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5．⑴求椭圆C的方程；⑵设过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于,EF两点，O为坐标原点，若OEF△为直角三角形，求直线l的斜率．【例15】已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点31,2M，过点2,1P的直线l与椭圆C相交于不同的两点,AB．⑴求椭圆C的方程；⑵是否存直线l，满足2PAPBPM？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【例16】已知椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F，2F，离心率22e，右准线方程为2x．⑴求椭圆的标准方程；（准线方程2axc）⑵过点1F的直线l与该椭圆交于M，N两点，且222263FMFN，求直线l的方程．【例17】设椭圆22221xyab(0)ab的左、右焦点分别为1F、2F，离心率22e，M、N是直线l：2axc上的两个动点，且120FMFN．⑴若12||||25FMFN，求a、b的值．⑵证明：当||MN取最小值时，12FMFN与12FF共线．5/7yxOF2F1NM【例18】已知椭圆22:14yCx，过点03M，的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．⑴若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；⑵设P为椭圆上一点，且OAOBOP（O为坐标原点），求当3AB时，实数的取值范围．【例19】已知1F、2F分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，右焦点2(0)Fc，到上顶点的距离为2，若26ac．⑴求此椭圆的方程；⑵点A是椭圆的右顶点，直线yx与椭圆交于M、N两点（N在第一象限内），又P、Q是此椭圆上两点，并且满足120||||NPNQFFNPNQ，求证：向量PQ与AM共线．【例20】一束光线从点1(10)F，出发，经直线l：230xy上一点P反射后，恰好穿过点2(10)F，，⑴求点1F关于直线l的对称点1F的坐标；⑵求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆C的方程；⑶设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，且不为A、B，求点Q到2F的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．【例21】已知直线220xy经过椭圆2222:10xyCabab的左顶点A和上顶点D．椭圆C的右顶点为B．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线10:3lx分别交于MN，两点．⑴求椭圆C的方程；⑵求线段MN的长度的最小值．⑶当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数；若不存在，说明理由．6/7lNMDBSyxOA